Родился 5 июля 1945 г. в Москве.
В 1963 г. окончил Музыкальное училище им. Октябрьской революции (ныне Московский государственный институт музыки им. А. Г. Шнитке) по классу баяна. Затем поступил на факультет народных инструментов Государственного музыкально-педагогического института им. Гнесиных (ныне Российская академия музыки им. Гнесиных). После первого курса был призван в армию. В 1967 г. продолжил обучение по специальности "дирижирование" в Ленинградской (ныне Санкт-Петербургской) государственной консерватории им. Н. А. Римского-Корсакова. В 1968 г. перевелся в Московскую государственную консерваторию им. П. И. Чайковского, которую окончил в 1972 г. по дирижерскому классу педагога Лео Гинзбурга. Под его же руководством прошел ассистентуру-стажировку, завершил ее в 1975 г.
С 1973 по 1995 г. Александр Лазарев работал в Государственном академическом Большом театре (ГАБТ). В 1978 г. основал Ансамбль солистов Большого театра, в 1987-1995 гг. был главным дирижером ГАБТ. Под его управлением шли оперы "Дон Карлос" Джузеппе Верди, "Жизнь за царя" Михаила Глинки, "Князь Игорь" Александра Бородина, "Борис Годунов" Модеста Мусоргского, "Снегурочка" Николая Римского-Корсакова, "Орлеанская дева" Петра Чайковского, "Игрок" Сергея Прокофьева, а также балеты "Чайка" и "Дама с собачкой" Родиона Щедрина.
В 1988-1993 гг. - художественный руководитель Дуйсбургского филармонического оркестра (ФРГ). В 1992-1995 гг. был главным приглашенным дирижером Симфонического оркестра Би-би-си (Великобритания). В 1997-2005 гг. - главный дирижер Королевского национального оркестра Шотландии, в 2008-2016 гг. - Японского филармонического оркестра.
Александр Лазарев также сотрудничал с Берлинским и Мюнхенским филармоническими оркестрами (Германия), Национальным оркестром Франции, филармоническим оркестром Осло (Норвегия), оркестром Шведского радио, Кливлендским филармоническим оркестром (США), Лионской национальной оперой (Франция).
С 2009 г. по начало 2020-х гг. - постоянный приглашенный дирижер Большого театра.
С 2012 г. как приглашенный дирижер сотрудничает с Московским академическим музыкальным театром им. К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко.
В 1982-1992 и 2004-2006 гг. Александр Лазарев преподавал на кафедре оперно-симфонического дирижирования оркестрового факультета Московской консерватории.
Народный артист РСФСР (1982).
Награжден орденом "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2010).
Лауреат премии Ленинского комсомола (1977), Государственной премии РСФСР им. М. И. Глинки (1986), премии Москвы в области литературы и искусства (2016).
Обладатель первых премий Всесоюзного конкурса дирижеров в Москве (1971) и Международного конкурса дирижеров Герберта фон Караяна в Западном Берлине (1972).
Дочь - Татьяна Лазарева (род. 1977, пианистка, искусствовед).