Родился 7 мая 1983 г. в гор. Красноармейске Московской области, в семье отставного военнослужащего и школьной учительницы физкультуры.
В 2009 г. окончил Югорский государственный университет (г. Ханты-Мансийск) по специальности "экономика и управление на предприятии строительства", в 2014 г. - Сургутский государственный университет по направлению "физическая культура".
В детстве занимался хоккеем, в 12 лет стал лучшим игроком первенства Московской области на призы клуба "Золотая шайба". Затем стал заниматься биатлоном, позднее - лыжными гонками в клубе "Слаломист" (Москва). Вскоре вошел в состав юниорской сборной РФ.
Участник зимних Олимпийских игр в Турине (Италия, 2006) и Ванкувере (Канада, 2010). Обладатель серебряной (2007 г., Саппоро, Япония) и бронзовой (2013 г., Валь-ди-Фьемме, Италия) медалей чемпионатов мира по лыжным видам спорта.
В сезоне 2012-2013 гг. Легков стал победителем престижной лыжной многодневки "Тур де Ски". Неоднократно занимал первые места на российских лыжных соревнованиях.
Олимпийский чемпион по лыжным гонкам в Сочи в 2014 г., завоевал золото в одной из самых трудных лыжных дисциплин - гонке на 50 км свободным стилем, а также серебро в составе эстафеты.
В мае 2016 г. Александр Легков победил во внутрипартийном отборе ("праймериз") политической партии "Единая Россия". 18 сентября 2016 г. был избран депутатом Московской областной Думы по списку "Единой России" (был первым номером в региональной группе №21). Входит в состав комитета Мособлдумы по делам молодежи и спорта.
27 декабря 2016 г. президент Федерации лыжных гонок РФ Елена Вяльбе сообщила, что Международная федерация лыжного спорта временно отстранила Александра Легкова от участия в соревнованиях из-за подозрения в нарушении антидопинговых правил.
1 ноября 2017 г. Международный олимпийский комитет за нарушение антидопинговых правил лишил Легкова (в составе группы российских спортсменов) золотой медали сочинской Олимпиады и пожизненно отстранил его от участия в Олимпийских играх. 1 февраля 2018 г. Спортивный арбитражный суд в Лозанне (Швейцария) вернул лыжнику награду, аннулировав пожизненный запрет на участие в Олимпиадах.
6 апреля 2018 г. Александр Легков, выступая в Ханты-Мансийске на ежегодном конкурсе "Спортивная элита", объявил, что завершает международную карьеру.
Начальник регионального штаба всероссийского детско-юношеского военно-патриотического общественного движения "Юнармия" в Московской области.
Общая сумма декларированного дохода за 2016 г. составила 3 млн 299 тыс. руб., супруги - 1 млн 241 тыс. руб.
Награжден орденом Дружбы (2014). Отмечен благодарностью президента РФ (2010).
Заслуженный мастер спорта РФ (2014).
Женат, имеет сына.