Родился 7 сентября 1959 г. в Москве. Его отец, Константин Григорьевич Левыкин (1925-2015), был историком, заслуженным профессором Московского университета, возглавлял в 1976-1992 гг. Государственный исторический музей (ГИМ).
В 1981 г. Алексей Левыкин окончил исторический факультет Московского государственного университета (МГУ) им. М. В. Ломоносова.
Является кандидатом исторических наук. В 1985 г. в МГУ защитил диссертацию на тему "Пушечный наряд и пушкари во второй половине XVII в. в России: по материалам южно-русских городов".
После окончания МГУ по распределению был направлен на работу в Институт военной истории. Затем работал в Центральном музее В. И. Ленина, который располагался в историческом здании Московской городской думы на пл. Революции в Москве (в н. в. в этом здании находится Музей Отечественной войны 1812 года, который входит в состав ГИМ).
Следующим местом работы Алексея Левыкина стал Государственный историко-культурный музей-заповедник "Московский Кремль" (Музеи Московского Кремля). Долгое время он был хранителем коллекции оружия Музеев Московского Кремля. В 1991-1998 гг. возглавлял сектор оружия и парадного конского убранства. В 1999-2000 гг. заведовал отделом "Оружейная палата". В 2001-2010 гг. являлся научным руководителем музея-заповедника "Московский Кремль".
С 24 июня 2010 г. занимает пост директора Государственного исторического музея. Под руководством Алексея Левыкина активно развернулась выставочная, научная и археологическая деятельность, постепенно меняется экспозиция ГИМ. Были открыты Музей Отечественной войны 1812 года и большой Выставочный комплекс Исторического музея, Артиллерийский двор и первый региональный филиал ГИМ в Туле, проведена масштабная реставрация Покровского собора.
Алексей Левыкин входит в состав Геральдического совета при президенте РФ. Является членом совета фонда "История Отечества".
Награжден орденом Дружбы (2019), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2010). Имеет благодарность правительства РФ (2023).
Лауреат премии правительства РФ в области культуры (2014, за создание Музея Отечественной войны 1812 года).
Автор-составитель альбома "Московский Кремль. Императорская Рюст-камера" (2004).