Родился 16 сентября 1944 г. в Москве.
В 1952-1963 гг. учился в Центральной музыкальной школе (ныне Центральная музыкальная школа - Академия исполнительского искусства, Москва) у известного музыкального педагога и пианистки Анны Артоболевской. В 1960 г. получил I премию на Всероссийском конкурсе пианистов в Москве.
В 1968 г. с отличием окончил Московскую государственную консерваторию (МГК) им. П. И. Чайковского по классу фортепиано. Преподавателями Алексея Любимова были Генрих Нейгауз и Лев Наумов.
В 1965 г., будучи студентом МГК, стал победителем Международного конкурса пианистов в Рио-де-Жанейро (Бразилия). В 1968 г. на Международном конкурсе пианистов в Монреале (Канада) получил IV премию и специальный приз за исполнение сочинений современных канадских композиторов.
По окончании Московской консерватории остался в ней преподавать. В 1968-1975 гг. был доцентом по классу камерного ансамбля.
С 1968 г. занимается Алексей Любимов концертной деятельностью. В разные годы играл в оркестрах под управлением всемирно известных дирижеров: Давида Ойстраха, Геннадия Рождественского, Михаила Плетнева, Владимира Ашкенази, Эса-Пеки Салонена. Среди его партнеров по камерным ансамблям были такие музыканты, как Наталия Гутман, Татьяна Гринденко, Олег Каган, Александр Рудин.
В 1969-1974 гг. возглавлял собственный ансамбль "Музыка - ХХ век". Впервые в СССР исполнил произведения современных зарубежных композиторов - Пьера Булеза (Франция), Карлхайнца Штокхаузена Германия), Джона Кейджа (США), Терри Райли (США) и др.
С 1975 г. Алексей Любимов является солистом Московской государственной академической филармонии.
В 1975-1982 гг. был основателем и руководителем "Московского барочного квартета".
В 1982 г. совместно с Татьяной Гринденко основал ансамбль "Академия старинной музыки".
В 1995-1997 гг. - руководитель Ансамбля старинной музыки МГК им. П. И. Чайковского.
В 1997 г. Алексей Любимов выступил инициатором создания в Московской консерватории факультета исторического и современного исполнительского искусства и до 2010 г. был его деканом. В настоящее время является профессором кафедры клавишных инструментов этого факультета.
В 1998 г. стал профессором по классу фортепиано Университета "Моцартеум" в Зальцбурге (Австрия).
Участвовал в организации фестивалей авангардной музыки в Риге и Таллине (1976-1978). Был организатором и руководителем Международного фестиваля современной музыки "Альтернатива" (регулярно проводился в Москве с 1988 до 1992 г.). С 1990-х гг. был участником или художественным руководителем международных фестивалей в Санкт-Галлене (Швейцария), Зальцбурге и Локкенхаусе (Австрия).
В 2000-е гг. являлся членом жюри престижных конкурсов пианистов в Москве и других городах мира.
Алексей Любимов - один из ведущих специалистов по старинной музыке XVI-XVIII веков. В разные годы исполнял произведения Иоаганна Себастьяна Баха, Вольфганга Моцарта, Йозефа Гайдна, Франца Шуберта, Иоганнеса Брамса, Сергея Рахманинова, Белы Бартока и др. Но в то же время одним из первых в СССР начал интересоваться авангардом, минимализмом и электронной музыкой.
Репертуар музыканта включает в себя сольные, ансамблевые сочинения и сочинения для фортепиано с оркестром. Дискография насчитывает более 50 дисков.
Народный артист РФ (2003).