Родился 21 ноября 1963 г. в гор. Конотопе (Сумская область Украинской ССР, ныне Украина).
Выпускник Омского государственного института физической культуры (ныне Сибирский государственный университет физической культуры и спорта).
Кандидат педагогических наук. В 1998 г. в Российской государственной академии физической культуры (ныне Российский университет спорта - ГЦОЛИФК, Москва) защитил диссертацию на тему "Индивидуализация предсоревновательной подготовки высококвалифицированных борцов греко-римского стиля".
Спортивная карьера
В 13 лет Михаил Мамиашвили начал заниматься греко-римской борьбой в секции "Трудовые резервы" при конотопском заводе "Красный металлист", его первым наставником был Анатолий Ефремов. В 1978 г. переехал в Москву, где продолжил занятия греко-римской борьбой под руководством тренеров Эрика Задиханова и Николая Есина.
В начале 1980-х гг. успешно выступал на советских и международных юношеских соревнованиях.
В 1983 и 1984 гг. Михаил Мамиашвили становился чемпионом СССР в весовой категории до 74 кг, в 1987 и 1988 гг. - в весовой категории до 82 кг.
В 1983 г. в Киеве (Украинская ССР, ныне Украина) выиграл золото чемпионата мира в весовой категории до 74 кг. Повторял это достижение в 1985 (Кульботн, Норвегия) и 1986 (Будапешт, Венгрия) гг. В дальнейшем дважды становился серебряным призером чемпионата мира в весовой категории до 82 кг - в 1989 (Мартиньи, Швейцария) и 1990 (Остия, Италия) гг.
В 1984 г. в Будапеште выиграл турнир по греко-римской борьбе в рамках международных соревнований "Дружба-84" (весовая категория до 74 кг).
В 1984 г. в Йенчепинге (Швеция) и в 1985 г. в Лейпциге (ГДР) занимал третье место на чемпионате Европы в весовой категории до 74 кг. В 1986 г. в Пирее (Греция) выиграл первенство континента в этой же категории. В 1988 г. в Кульботне и в 1989 г. в Оулу (Финляндия) выигрывал чемпионат Европы в весовой категории до 82 кг.
В 1988 г. в Сеуле (Республика Корея) Михаил Мамиашвили стал чемпионом XXIV летней Олимпиады в весовой категории до 82 кг.
В 1991 г. завершил спортивную карьеру.
Тренерская деятельность
В 1991 г. Михаил Мамиашвили был главным тренером сборной СССР по греко-римской борьбе.
В 1992 г. тренировал борцов греко-римского стиля, выступавших в составе Объединенной команды на XXV летних Олимпийских играх в Барселоне (Испания). Под его руководством они завоевали 3 золотые, 3 серебряные и 3 бронзовые медали.
В 1993-1998 гг. был главным тренером сборной России по греко-римской борьбе. В 1996 г. на XXVI летней Олимпиаде в Атланте (шт. Джорджия, США) россияне получили в этом виде спорта 1 золотую и 2 бронзовые награды.
Административная деятельность
В 1995-1997 гг. Михаил Мамиашвили был вице-президентом Федерации спортивной борьбы России (ФСБР). В октябре - декабре 1997 г., после гибели в автомобильной катастрофе главы ФСБР Ивана Ярыгина, исполнял обязанности президента этой организации. С 1998 г. по н. в. является президентом ФСБР.
С 1998 по 2002 г. Михаил Мамиашвили занимал должность начальника Центрального спортивного клуба армии.
Вице-президент Объединенного мира борьбы (ведущая международная организация, развивающая различные виды борьбы: греко-римскую, вольную и др.).
Член исполкома Олимпийского комитета России.
Председатель правления общероссийского отраслевого объединения работодателей "Союз работодателей в сфере физической культуры и спорта".
Общественная деятельность
Член Совета при президенте РФ по развитию физической культуры и спорта.
Звания, награды
Заслуженный мастер спорта СССР (1988). Заслуженный тренер России (1992). Имеет воинское звание полковника.
Михаил Мамиашвили награжден орденами "Знак Почета" (1985), Дружбы народов (1989), Почета (2011), "За заслуги перед Отечеством" III и IV степеней (2023, 2014), Дружбы (2017), Александра Невского (2020), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" I и II степеней (2001, 1997). Отмечен Почетной грамотой президента РФ (2013).
Член зала славы Объединенного мира борьбы.