Родился 28 сентября 1958 г. в Москве в семье дипломата. Его отец – Леонид Манжосин – в середине 1990-х гг. работал генеральным консулом РФ в Стамбуле (Турция).
В 1980 г. Александр Манжосин окончил Московский государственный институт международных отношений МИД СССР (ныне – МГИМО МИД России). По данным СМИ, его однокурсником был Сергей Приходько, занимавший в 2000-2010-х гг. посты помощника президента и вице-премьера - руководителя Аппарата правительства РФ.
В 1980-1982 г. Александр Манжосин работал переводчиком торгового представительства СССР в г. Анкаре (Турция).
С 1982 по 1985 г. - референт, старший референт Министерства иностранных дел СССР.
В 1985-1991 гг. - атташе, третий секретарь посольства СССР в Республике Кипр.
В 1991-1993 гг. - второй секретарь МИД СССР; второй секретарь, первый секретарь МИД Российской Федерации.
В 1993 г. перешел на работу в Администрацию президента РФ. С 1993 по 1996 г. - специалист-эксперт, консультант, референт помощника президента РФ в Службе помощников главы государства Бориса Ельцина.
В 1996-1997 гг. - референт Дмитрия Рюрикова, помощника президента РФ Бориса Ельцина по международным вопросам.
С 1997 по 2004 г. - первый заместитель начальника Управления президента РФ по внешней политике Сергея Приходько.
С 16 апреля 2004 г. по 29 сентября 2018 г. - начальник Управления президента РФ по внешней политике.
Общая сумма декларированного дохода за 2017 г. составила 6 млн 914 тыс. руб.
Действительный государственный советник I класса (2004).
Награжден орденами Дружбы (2003), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2008). Семь раз отмечен благодарностью президента РФ (1996; 1998 – дважды; 1999; 2001; 2010; 2015). Также имеет Почетную грамоту президента РФ (2010).
Владеет английским и турецким языками.