Родился 3 сентября 1969 г. в Москве.
В 1992 г. с отличием окончил экономический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова по специальности "экономист-математик".
Еще до окончания вуза был приглашен в качестве специалиста в группу экспертов, созданную при Администрации президента РСФСР (впоследствии - Администрация президента РФ), где работал до 1994 г.
В 1994-1998 гг. Андрей Мельников работал руководителем информационно-аналитического отдела Российского торгово-финансового союза. В апреле - ноябре 1998 г. был заместителем начальника, начальником отдела Департамента кредитной политики Министерства экономики РФ.
В 1998-1999 гг. был руководителем исполнительной дирекции регионального общественного фонда "Экономика и народовластие". Также в 1998 г. стал членом группы по созданию Агентства по реструктуризации кредитных организаций (АРКО), в дальнейшем занимался практическими вопросами финансового оздоровления и ликвидации банков.
В 1999 г. стал экономическим советником, затем заместителем генерального директора АРКО Александра Турбанова.
В 2004 г. АРКО было ликвидировано, вместо него было создано Агентство по страхованию вкладов (АСВ), которое также возглавил Турбанов. В 2004-2016 гг. Андрей Мельников занимал пост заместителя главы АСВ (оставался в этой должности после того, как директором агентства в 2012 г. стал Юрий Исаев). Курировал вопросы страхования депозитов физлиц и АНО "Фонд защиты вкладчиков" (с 2014 г.).
30 декабря 2016 г. по 21 декабря 2017 г. - министр экономического развития Республики Крым. Подал в отставку по семейным обстоятельствам.
В 2018-2019 гг. Андрей Мельников являлся вице-президентом Ассоциации банков России.
22 июля 2019 г. был назначен первым заместителем гендиректора АСВ. 19 января 2022 г. совет директоров государственной корпорации "Агентство по страхованию вкладов" (АСВ) назначил Андрея Мельникова на должность генерального директора. Занял этот пост 26 января 2022 г. и сменил Юрия Исаева, который стал зампредом Центрального банка РФ.