Родился 22 августа 1959 г. в Москве.
В 1981 г. окончил Московский государственный институт международных отношений МИД СССР (ныне - МГИМО МИД России).
В 1981-1986 гг. работал дежурным референтом, атташе, третьим секретарем посольства СССР в Испании.
С 1986 по 1992 г. - третий, второй, первый секретарь, заведующий отделом управления научно-технического сотрудничества МИД СССР, затем РФ.
В 1992-1997 гг. - первый секретарь, советник, старший советник посольства РФ в Испании. Российское представительство в этой стране до 1994 г. возглавлял Игорь Иванов, будущий министр иностранных дел РФ (1998-2004).
С 1997 по 1998 г. Алексей Мешков работал заместителем директора департамента общеевропейского сотрудничества МИД России.
В 1999-2001 гг. - начальник управления внешнеполитического планирования, затем директор департамента внешнеполитического планирования МИД России.
С 6 сентября 2001 г. по 20 января 2004 г. - заместитель министра иностранных дел РФ Игоря Иванова. Курировал вопросы стратегического планирования внешней политики и отношений РФ с европейскими странами.
В период с 20 января 2004 г. по 14 декабря 2012 г. - чрезвычайный и полномочный посол РФ в Итальянской Республике. С 27 февраля 2004 г. был также послом в Республике Сан-Марино по совместительству. Сменил во главе российского диппредставительства Николая Спасского, который был назначен заместителем председателя Совета безопасности РФ, ныне - заместитель гендиректора Росатома.
Одновременно, со 2 сентября 2006 г. по 14 декабря 2012 г., Алексей Мешков занимал должность постоянного представителя РФ при Продовольственной и сельскохозяйственной организации Объединенных Наций (ФАО) и Всемирной продовольственной программе ООН в Риме (Италия).
С 25 декабря 2012 г. по 23 октября 2017 г. – заместитель министра иностранных дел РФ Сергея Лаврова. Курировал вопросы отношений с европейскими странами, общеевропейского сотрудничества, взаимодействия с ЕС, ОБСЕ, НАТО и Советом Европы. Входил в коллегию МИД РФ.
В июне 2017 г. ряд СМИ сообщили о том, что Алексей Мешков может стать новым послом РФ во Французской Республике. 30 августа 2017 г. официальный представитель правительства Франции Кристоф Кастанер по итогам заседания Совета министров сообщил, что президент республики Эмманюэль Макрон "отметил личные качества Алексея Мешкова". По словам Кастанера, "для Франции важный сигнал, что дипломат столь высокого уровня займет пост в Париже".
С 23 октября 2017 г. - чрезвычайный и полномочный посол России во Французской Республике и Княжестве Монако по совместительству.
Член президиума Российского совета по международным делам и Совета по внешней и оборонной политике.
Имеет дипломатический ранг чрезвычайного и полномочного посла (2004).
Награжден орденами Дружбы (1999), Почета (2010), Александра Невского (2016). Имеет почетную грамоту (2014) и две благодарности президента РФ (2008, 2020), Почетную грамоту правительства РФ (2002).
Награжден также орденом Святого благоверного князя Даниила Московского I и II степени (Русская православная церковь; 2009, 2003).
Владеет английским, итальянским и испанским языками.