Родилась 13 сентября 1934 г. в Астрахани.
После окончания школы-семилетки она поступила в астраханский библиотечный техникум, занималась в хоровом кружке. В 1953 г. начала обучение в Астраханском музыкальном училище (ныне Астраханский музыкальный колледж имени М. П. Мусоргского). Во время одного из выступлений ее заметила известная выпускница этого училища певица Мария Максакова. По ее совету Милашкина поступила в Московскую государственную консерваторию, которую окончила в 1959 г. (класс народной артистки СССР Елены Катульской). В 1957 г. Милашкина получила I премию на вокальном конкурсе в рамках IV Всемирного фестиваля молодежи и студентов в Москве.
В 1958 г., на последнем курсе консерватории, она была принята в оперную труппу Государственного академического Большого театра (ГАБТ). Дебютировала в мае того же года в партии Татьяны в опере "Евгений Онегин" Петра Чайковского.
В 1961-1962 гг. стажировалась в миланском театре "Ла Скала".
В репертуар Тамары Милашкиной входили партии Дездемоны и Аиды в операх Джузеппе Верди "Отелло" и "Аида", Тоски в одноименной опере Джакомо Пуччини, Лизы в "Пиковой даме" Петра Чайковского, Наташи Ростовой в "Войне и мире" Сергея Прокофьева и др. Она признана одной из наиболее ярких сопрано XX века.
После ухода из ГАБТ в 1989 г. активно гастролировала за рубежом, выступала в оперных театрах США, Франции, Италии, Германии, Греции, Японии и др.
Тамара Милашкина скончалась 10 января 2024 г. на 90-м году жизни в Вене (Австрия). Похоронена на Венском центральном кладбище.
Народная артистка СССР (1973).
Была награждена орденами Ленина (1976) и Трудового Красного Знамени (1971). Лауреат Государственной премии РСФСР им. М. И. Глинки (1978).
Супруг - оперный певец, народный артист СССР Владимир Атлантов.