Родился 1 февраля 1959 г. в Томске.
В 1981 г. окончил юридический факультет Томского государственного университета (ТГУ) им. В. В. Куйбышева (ныне Национальный исследовательский Томский государственный университет), в 1988 г. – аспирантуру юридического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
С 1981 по 1985 г. работал инженером, ассистентом кафедры, младшим научным сотрудником в Томском госуниверситете.
В 1988–1992 гг. – старший преподаватель кафедры теории и истории государства и права юридического факультета ТГУ.
С 1992 по 2002 г. был сотрудником Администрации президента РФ. В 1992-1996 гг. - заведующий сектором государственного права, заместитель начальника отдела государственно-правового управления резидента РФ. В 1996-2000 гг. - заместитель начальника управления правовых вопросов государственного строительства и публичного права главного государственно-правового управления президента РФ. В 2000–2002 гг. – заместитель начальника главного государственно-правового управления президента РФ Ларисы Брычевой.
С 1998 г. преподает в Национальном исследовательском университете "Высшая школа экономики" (НИУ ВШЭ), в настоящее время - профессор, заведующий базовой кафедрой межотраслевого регулирования факультета права НИУ ВШЭ.
С октября 2002 г. по апрель 2004 г. - полномочный представитель правительства РФ в Совете Федерации (сменил на этом посту Андрея Себенцова).
С апреля 2004 г. по декабрь 2009 г. - директор правового департамента Аппарата правительства РФ. Аппарат кабмина до сентября 2004 г. возглавлял Дмитрий Козак, затем Сергей Нарышкин (2004-2008) и Сергей Собянин (с мая 2008 г.).
В 2004 г. Гарри Минх работал в предвыборном штабе кандидата в президенты РФ Владимира Путина, в 2008 г. был главным юристом предвыборного штаба кандидата в президенты РФ Дмитрия Медведева.
12 февраля 2009 г. вернулся на работу в администрацию главы государства, где занял пост полномочного представителя президента РФ в Государственной думе РФ. Сменил в должности Александра Косопкина.
Член Совета при президенте РФ по кодификации и совершенствованию гражданского законодательства (с июля 2008 г.).
Действительный государственный советник РФ I класса (2004).
Награжден орденом Дружбы (2008) и медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2007). Отмечен Почетной грамотой правительства РФ (2006), имеет благодарности президента (1999, 2002) и правительства (2003) РФ.
Заслуженный юрист РФ (1996).
Владеет немецким языком.