Родился 8 марта 1941 г. в Севастополе в семье Николая Ивановича Мишина и Татьяны Валентиновны Делюкиной. Его отец был преподавателем военно-морского училища, мать работала в техникуме. Во время Великой Отечественной войны отец воевал в морской пехоте. Алексей Мишин с матерью находился в эвакуации в Ульяновске. После окончания войны его родители на протяжении нескольких лет работали в Тбилисском Нахимовском военно-морском училище (существовало в 1943-1955 гг.), затем семья переехала в Ленинград (ныне Санкт-Петербург).
В 1964 г. Алексей Мишин окончил факультет автоматики и вычислительной техники Ленинградского электротехнического института им. В. И. Ульянова-Ленина (ныне Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им. В. И. Ульянова-Ленина).
Кандидат педагогических наук. В 1973 г. в Государственном институте физической культуры им. П. Ф. Лесгафта (ныне Национальный государственный университет физической культуры, спорта и здоровья им. П. Ф. Лесгафта, Санкт-Петербург) защитил диссертацию на тему "Техника исполнения и методика обучения многооборотным прыжкам конькобежца-фигуриста".
Спортивная карьера
В 1956 г. Алексей Мишин начал заниматься фигурным катанием в секции ленинградского Дворца пионеров. Его первым тренером была Нина Леплинская, затем - Майя Беленькая. В 1964 г. он достиг наиболее высокого результата, заняв третье место на чемпионате СССР в мужском одиночном разряде.
В середине 1960-х гг. Алексей Мишин начал выступать в парном катании вместе с Тамарой Москвиной (тренером дуэта был супруг партнерши - Игорь Москвин). Мишин и Москвина становились чемпионами СССР (1969), серебряными (1968) и бронзовыми (1966, 1967) медалистами первенства страны.
В 1968 г. в Вестеросе (Швеция) они заняли второе место на чемпионате Европы. В 1969 г. в Колорадо-Спрингс (шт. Колорадо, США) Москвина и Мишин стали серебряными призерами мирового первенства. В том же году в Гармиш-Партенкирхене (ФРГ) завоевали бронзу чемпионата Европы.
В 1969 г. Москвина и Мишин завершили выступления и занялись тренерской деятельностью.
Тренерская и административная деятельность
Алексей Мишин специализируется на работе со спортсменами, выступающими в одиночном разряде. Подготовил несколько десятков победителей и призеров всесоюзных, российских и международных соревнований. Среди его учеников: олимпийские чемпионы Алексей Урманов (1994, Лиллехаммер, Норвегия), Алексей Ягудин (2002, Солт-Лейк-Сити, шт. Юта, США) и Евгений Плющенко (2006, Турин, Италия; в 2014 г. в Сочи стал олимпийским чемпионом в командных соревнованиях), чемпионка мира Елизавета Туктамышева (2015, Шанхай, Китай), чемпионка Европы Софья Самодурова (2019, Минск, Белоруссия), бронзовый призер чемпионата мира Артур Гачинский (2011, Москва).
Алексей Мишин является тренером спортивной школы олимпийского резерва "Звездный лед" (Санкт-Петербург).
Председатель аттестационной комиссии Федерации фигурного катания на коньках Санкт-Петербурга.
Педагогическая деятельность, книги
С 1973 г. Алексей Мишин преподает в Национальном государственном университете физической культуры, спорта и здоровья им. П. Ф. Лесгафта. С 1985 г. является заведующим кафедрой теории и методики конькобежного спорта и фигурного катания. Профессор (1990).
Автор книг "Школа в фигурном катании" (1979), "Биомеханика движений фигуриста" (1981), "О чем молчит лед?" (2020), редактор учебного пособия "Фигурное катание на коньках" (1985), соавтор книг "Отечественная история фигурного катания на коньках" (2006), "Фигурное катание в России. Факты, события, судьбы" (2007), "Первый олимпийский чемпион России. Дело всей жизни" (2011), "Фигурное катание как космический полет" (2015).
Звания, награды
Заслуженный мастер спорта СССР (1969). Заслуженный тренер СССР (1976). Заслуженный работник физической культуры РФ (2002).
Майор в отставке.
Награжден орденами Дружбы народов (1994) и "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2014), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2010). Отмечен Почетной грамотой президента РФ (2011).
В 2017 г. Алексей Мишин был введен в Зал славы мирового фигурного катания (Колорадо-Спрингс).
Личные сведения
Женат. Супруга - Татьяна Мишина (девичья фамилия Оленева, род. 1954) - чемпионка СССР по фигурному катанию 1973 г. в женском одиночном разряде, ныне тренер. Сыновья - Андрей (род. 1976) и Николай (род. 1982) - тренеры по теннису.