Родился 16 апреля 1962 г. в с. Борское Гвардейского района Калининградской обл.
После окончания школы в Знаменске (Калининградская обл.) и кинотехникума в Советске (Калининградская обл.) работал мастером-наладчиком в киноремонтной мастерской г. Березники (Пермская обл. РСФСР, ныне Пермский край РФ).
В 1981 г. был призван в Советскую армию, служил в Уральском военном округе.
В 1982 г. поступил в Высшее военно-морское училище радиоэлектроники им. А. С. Попова (ныне Военно-морской институт радиоэлектроники им. А. С. Попова, Санкт-Петербург), окончил его в 1987 г. В 1995 г. стал выпускником Высших специальных офицерских классов ВМФ России (Санкт-Петербург). В 2003 г. с отличием окончил Военно-морскую академию им. Н. Г. Кузнецова в Санкт-Петербурге, а в 2011 г. - военно-морской факультет Военной академии Генерального штаба ВС РФ в Москве.
Служил на атомных подводных ракетоносцах проекта 667БДРМ "Дельфин" краснознаменного Северного флота (СФ). С 1987 г. - инженер вычислительной группы, затем - командир радиотехнической боевой части (БЧ-7) ракетного подводного крейсера стратегического назначения (РПКСН) К-117. С 1994 г. был переведен на К-18 на должность старшего помощника командира по боевому управлению. В этой должности в июле - августе 1994 г. участвовал в арктическом походе, в ходе которого экипаж субмарины установил на Северном полюсе Андреевский и Российский флаги. После похода был награжден орденом Мужества.
С июля 1995 г. - старший помощник командира К-117, с ноября 1997 г. - командир второго экипажа К-407 (в 1999 г. получила наименование "Новомосковск" в честь города в Тульской области). В частности, командовал К-407 "Новомосковск" 7 июля 1998 г., когда с борта этого корабля, находившегося в подводном положении в Баренцевом море, был впервые произведен успешный запуск ракеты-носителя "Штиль-1" (переоборудованная для космических пусков боевая ракета Р-29РМ).
С 2003 г. - заместитель командира, затем начальник штаба 31-й дивизии подводных лодок, в состав которой были сведены все атомные подводные ракетоносцы стратегического назначения Северного флота.
С 2007 г. командовал 31-й дивизией, которая под его руководством неоднократно становилась лучшей на СФ.
С 20 сентября по 14 ноября 2007 г., будучи старшим в походе на РПКСН К-114 "Тула", обеспечил успешное проведение испытаний резервной системы боевого управления ядерными силами РФ.
В 2008 г. командовал переходом атомной ракетной подводной лодки К-44 "Рязань" проекта 667БДР "Кальмар" с Северного на Тихоокеанский флот в подводном положении подо льдами Северного Ледовитого океана, за что был награжден вторым орденом Мужества.
Летом 2009 г. руководил походом К-117 "Брянск" на Северный полюс с боевой стрельбой из приполюсного района.
Александр Моисеев участвовал в 13 дальних походах и боевых службах, в т. ч. подо льдами Северного полюса. В ходе боевых патрулирований под его руководством успешно проводились испытания новейшего оружия. Участвовал в подготовке и выполнении стрельб баллистическими ракетами.
С июня 2011 г. занимал пост заместителя командующего, с апреля 2012 г. - командующего подводными силами СФ.
С 5 апреля 2016 г. - начальник штаба - первый заместитель командующего СФ.
22 ноября 2017 г. был назначен заместителем начальника Генерального штаба ВС РФ.
С 14 мая 2018 г. исполнял обязанности командующего Черноморским флотом (ЧФ) ВМФ России. 26 июня 2018 г. было объявлено, что указом президента РФ Александр Моисеев назначен на эту должность на постоянной основе. Сменил на посту командующего ЧФ адмирала Александра Витко.
8 мая 2019 г. министр обороны РФ Сергей Шойгу объявил о назначении вице-адмирала Александра Моисеева командующим СФ. Соответствующий указ 3 мая 2019 г. подписал президент РФ Владимир Путин. Моисеев сменил командующего СФ адмирала Николая Евменова, назначенного на пост главкома ВМФ.
19 марта 2024 г. стало известно, что Герой РФ адмирал Александр Моисеев стал временно исполняющим обязанности главнокомандующего Военно-морским флотом (ВМФ) России. Военачальника в новой должности впервые официально представили на Дне моряка-подводника в Кронштадте (Санкт-Петербург). 2 апреля того же года министр обороны России Сергей Шойгу в ходе селекторного совещания с руководящим составом Вооруженных сил (ВС) РФ объявил о том, что Герой РФ адмирал Александр Моисеев назначен главкомом ВМФ России.
В 2009-2013 гг. - депутат I созыва совета депутатов ЗАТО Александровск Мурманской обл. Был избран на выборах 1 марта 2009 г., баллотировался по списку местного отделения партии "Единая Россия", набрал 36,39% голосов избирателей.
Адмирал (10 декабря 2020 г.).
Герой Российской Федерации (2011, "за мужество и героизм, проявленные при исполнении воинского долга").
Награжден орденом "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2019), двумя орденами Мужества (1995, 2008), орденом "За военные заслуги" (2006) и медалями, включая медаль ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2006).