Родился 6 января 1974 г. в пос. Березняки Тюменского района Тюменской области.
В 1996 г. окончил Тюменский государственный университет по специальности "бухгалтерский учет и аудит" с присвоением квалификации экономиста. Окончил курсы повышения квалификации Российской академии народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ.
В 1994 г. начал работать в банке "Тюменский кредит". Был экономистом отдела кредитных ресурсов и краткосрочного кредитования.
С 1997 по 2000 г. - начальник отдела ликвидности, вице-президент по внешнеэкономической деятельности тюменского инвестиционного банка "Дипломат".
В 2000-2001 гг. был заместителем председателя правления банка "Белый Север", руководителем контрольно-ревизионного управления и начальником казначейства ОАО "Ханты-Мансийский банк".
В 2001-2003 гг. - заместитель директора департамента экономики администрации Тюменской области.
С 2003 по 2005 г. Александр Моор занимал пост генерального директора ОАО "Тюменский ЦУМ".
С июня по декабрь 2005 г. - заместитель директора, затем директор департамента имущественных отношений администрации Тюмени.
26 декабря 2005 г. был назначен заместителем губернатора Тюменской области Владимира Якушева.
В феврале 2011 г. был первым заместителем главы администрации (сити-менеджера) Тюмени Евгения Куйвашева (ныне губернатор Свердловской области). Исполнял полномочия главы администрации города.
25 февраля 2011 г. депутаты Тюменской городской думы единогласно избрали Александра Моора главой администрации города (переизбирался в сентябре 2013 г.).
В 2016 г. был включен в резерв управленческих кадров, находящихся под патронатом главы государства.
С 2018 г. руководит Тюменской областью.
29 мая 2018 г. президент РФ Владимир Путин назначил Александра Моора врио губернатора Тюменской области. Бывший глава области Владимир Якушев возглавил Министерство строительства и жилищно-коммунального хозяйства РФ.
9 сентября 2018 г. Александр Моор был избран губернатором Тюменской области. Баллотировался от партии "Единая Россия", на выборах получил 65,86% голосов. Второе место занял заместитель председателя комитета областного парламента по аграрным вопросам и земельным отношениям Артем Зайцев от ЛДПР (12,99%). Инаугурация Александра Моора состоялась 14 сентября того же года.
10 сентября 2023 г. он вновь победил на выборах губернатора Тюменской области, набрав 78,77% (баллотировался от "Единой России"). Его ближайший соперник, депутат заксобрания Ямало-Ненецкого АО Денис Садовников (от ЛДПР), набрал 8,26% голосов избирателей. 15 сентября того же года Александр Моор вступил в должность.
Член высшего совета партии "Единая Россия". Входит в состав президиума регионального политсовета партии в Тюменской области.
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2018).