Родился 6 января 1974 г. в пос. Березняки Тюменского района Тюменской области.
В 1996 г. окончил Тюменский государственный университет по специальности "бухгалтерский учет и аудит" с присвоением квалификации экономиста. Окончил курсы повышения квалификации Российской академии народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ.
В 1994 г. начал работать в банке "Тюменский кредит". Был экономистом отдела кредитных ресурсов и краткосрочного кредитования.
С 1997 по 2000 г. - начальник отдела ликвидности, вице-президент по внешнеэкономической деятельности тюменского инвестиционного банка "Дипломат".
В 2000-2001 гг. был заместителем председателя правления банка "Белый Север", руководителем контрольно-ревизионного управления и начальником казначейства ОАО "Ханты-Мансийский банк".
В 2001-2003 гг. - заместитель директора департамента экономики администрации Тюменской области.
С 2003 по 2005 г. Александр Моор занимал пост генерального директора ОАО "Тюменский ЦУМ".
С июня по декабрь 2005 г. - заместитель директора, затем директор департамента имущественных отношений администрации Тюмени.
26 декабря 2005 г. был назначен заместителем губернатора Тюменской области Владимира Якушева.
В феврале 2011 г. был первым заместителем главы администрации (сити-менеджера) Тюмени Евгения Куйвашева (ныне губернатор Свердловской области). Исполнял полномочия главы администрации города.
25 февраля 2011 г. депутаты Тюменской городской думы единогласно избрали Александра Моора главой администрации города (переизбирался в сентябре 2013 г.).
В 2016 г. был включен в резерв управленческих кадров, находящихся под патронатом главы государства.
С 2018 г. руководит Тюменской областью.
29 мая 2018 г. президент РФ Владимир Путин назначил Александра Моора врио губернатора Тюменской области. Бывший глава области Владимир Якушев возглавил Министерство строительства и жилищно-коммунального хозяйства РФ.
9 сентября 2018 г. Александр Моор был избран губернатором Тюменской области. Баллотировался от партии "Единая Россия", на выборах получил 65,86% голосов. Второе место занял заместитель председателя комитета областного парламента по аграрным вопросам и земельным отношениям Артем Зайцев от ЛДПР (12,99%). Инаугурация Александра Моора состоялась 14 сентября того же года.
10 сентября 2023 г. он вновь победил на выборах губернатора Тюменской области, набрав 78,77% (баллотировался от "Единой России"). Его ближайший соперник, депутат заксобрания Ямало-Ненецкого АО Денис Садовников (от ЛДПР), набрал 8,26% голосов избирателей. 15 сентября того же года Александр Моор вступил в должность.
Член Государственного совета РФ.
Член высшего совета партии "Единая Россия". Секретарь тюменского регионального отделения партии (с апреля 2025 г.).
Награжден орденом Александра Невского (2025), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2018).