Родился 16 февраля 1977 г. в Москве.
В 1999 г. окончил Российскую государственную академию физической культуры (ныне Российский государственный университет физической культуры, спорта, молодежи и туризма) по специальности "Физическая культура и спорт". В 2011 г. получил диплом Казанского федерального университета по специальности "Юриспруденция".
Клубная карьера
В пять лет Алексей Морозов начал заниматься хоккеем под руководством отца, тренировавшего команду Московского электролампового завода. Впоследствии занимался в столичной хоккейной школе "Локомотив", где работал его отец.
С 12 лет тренировался в хоккейной школе "Крылья Советов" под руководством Константина Смирнова. Игровая позиция - нападающий.
В 1994-1997 гг. Алексей Морозов выступал за клуб "Крылья Советов" в Межнациональной хоккейной лиге (в турнире соревновались ведущие клубы ряда стран бывшего СССР) и чемпионате России.
В 1997-2004 гг. представлял клуб Национальной хоккейной лиги "Питтсбург пингвинз".
В 2004-2013 гг. был игроком казанского "Ак Барса". В его составе стал золотым (2006) и серебряным (2007) медалистом чемпионата России, двукратным обладателем Кубка Гагарина - главного трофея КХЛ (2009, 2010), а также завоевал Кубок европейских чемпионов (2007) и Континентальный кубок (2008).
В 2013-2014 гг. Алексей Морозов выступал за московский ЦСКА.
Карьера в сборной
В 1996 и 1997 гг. Алексей Морозов в составе сборной России становился бронзовым призером молодежного чемпионата мира. Турниры проходили в США и Швейцарии соответственно.
С 1997 по 2011 г. регулярно выступал за сборную России. В ее составе стал двукратным чемпионом мира (2008 - Канада, 2009 - Швейцария), бронзовым медалистом мирового первенства (2007 - Россия), а также серебряным призером XVIII зимней Олимпиады 1998 г. в Нагано (Япония).
Был знаменосцем сборной России на церемонии открытия XXI зимних Олимпийских игр 2010 г. в Ванкувере (Канада).
В 2014 г. объявил о завершении игровой карьеры.
Административная деятельность
В 2015-2020 гг. Алексей Морозов является управляющим директором Молодежной хоккейной лиги (МХЛ), членом правления Континентальной хоккейной лиги. Был вице-президентом КХЛ по развитию молодежного хоккея.
С 2016 г. - президент московского хоккейного клуба "Крылья Советов" (выступает в МХЛ).
С 2020 г. по н. в. - председатель правления - президент КХЛ. Сменил на посту Дмитрия Чернышенко, в январе 2020 г. назначенного вице-премьером РФ.
В мае 2022 г. стал членом правления Федерации хоккея России.
Общественная деятельность
Алексей Морозов был президентом Федерации детского гольфа, членом общественного совета при Министерстве физической культуры и спорта Московской области.
С августа 2022 г. - внештатный советник заместителя председателя правительства РФ Дмитрия Чернышенко.
Звания, награды
Заслуженный мастер спорта РФ (1998).
Алексей Морозов награжден орденом Дружбы (2024), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2009). Отмечен благодарностью президента РФ (2016).