Родился 5 мая 1971 г. в г. Минске Белорусской ССР (ныне Республика Белоруссия) в семье военнослужащего.
В 1994 г. с отличием окончил педиатрический факультет Саратовского государственного медицинского университета (ГМУ, с 2009 г. носит имя В. И. Разумовского), в 1996 г. - клиническую ординатуру кафедры детской хирургии вуза.
Доктор медицинских наук. В 1997 г. защитил диссертацию на соискание степени кандидата медицинских наук в Российской медицинской академии последипломного образования. В 2000 г., в возрасте 28 лет, защитил докторскую диссертацию в Российском государственном медицинском университете им. Н. И. Пирогова (Москва). Одним из членов диссертационной комиссии был известный детский хирург, профессор, доктор медицинских наук Леонид Рошаль.
Профессор (2008).
С 1988 г. работал медицинским братом в детском травматологическом пункте, в отделении детской хирургической реанимации.
С 1994 по 2012 г. работал на кафедре детской хирургии Саратовского государственного медицинского университета. С 1994 г. – клинический ординатор кафедры детской хирургии, с 1996 г. - ассистент, с 2000 г. - доцент кафедры. С 2003 г. – заведующий кафедрой и руководитель университетской клиники Саратовского ГМУ им. В. И. Разумовского. Профессор по кафедре детской хирургии.
В 2004-2005 гг. - проректор университета по научно-исследовательской работе. В 2005-2010 гг. - заместитель директора по научно-исследовательской работе, с 2010 г. - директор НИИ фундаментальной и клинической уронефрологии Саратовского ГМУ.
Организатор Саратовского центра детской эндокринной хирургии и хирургии патологии пола (1998).
В 2012 г. был назначен главным специалистом - детским хирургом по Приволжскому федеральному округу.
В 2012-2013 гг. – заместитель директора НИИ педиатрии и детской хирургии Минздрава России (Москва), заведующий отделением абдоминальной хирургии.
С 2013 по 2016 г. - директор НИИ детской хирургии. Возглавлял отдел детской хирургии Научного центра здоровья детей Минздрава России (НЦЗД), был заведующим отделением общей хирургии.
С октября 2013 г. по н. в. – заведующий кафедрой детской хирургии и урологии-андрологии им. проф. Л. П. Александрова Первого Московского государственного медицинского университета (МГМУ) им. И. М. Сеченова. Профессор по кафедре.
С 2013 по 2017 г. - руководитель школы мастерства "Детская хирургия" Сеченовского университета.
Член Общероссийского народного фронта (с 2013 г.), регионального штаба ОНФ по г. Москве.
С 2016 по 2021 г. - депутат Государственной думы РФ VII созыва от партии "Единая Россия".
В 2016 г. Дмитрий Морозов принял участие в предварительном голосовании (т. н. праймериз) "Единой России" по отбору кандидатов в депутаты Госдумы РФ VII созыва и занял третье место по общегородскому списку с результатом около 20%. В числе инициаторов его выдвижения в Госдуму были руководители ряда медицинских учреждений Москвы, среди которых президент НИИ неотложной детской хирургии и травматологии Леонид Рошаль, ректор Российского национального исследовательского медицинского университета им. Пирогова Сергей Лукьянов и др.
18 сентября 2016 г. Дмитрий Морозов был избран депутатом Госдумы РФ VII созыва от партии "Единая Россия" по Черемушкинскому одномандатному избирательному округу №209 (Москва). На выборах за него отдали голоса 34,22% избирателей (второе место в округе занял кандидат от КПРФ Владимир Родин, 12,66%). Член фракции "Единая Россия". С 5 октября 2016 г. возглавлял комитет Государственной думы РФ по охране здоровья.
С 2021 г. - директор Научно-исследовательского клинического института педиатрии и детской хирургии им. академика Ю. Е. Вельтищева.
С 2022 г. - главный внештатный детский специалист-хирург Министерства здравоохранения РФ.
Член Российской ассоциации детских хирургов (РАДХ; с 1998 г.). Организатор (2004), председатель (2008-2012) саратовского регионального отделения РАДХ. С 2014 г. - заместитель председателя президиума ассоциации, с 2019 г. - организатор и председатель научного совета РАДХ.
Вице-президент Национальной медицинской палаты РФ (с 2019 г.).
Член Европейской ассоциации детских хирургов (EUPSA; с 2005 г.), сопредседатель первой школы EUPSA в России (2020).
Член партии "Единая Россия", федеральный координатор партийного проекта "Здоровое будущее".
Имеет благодарность (2017) и Почетную грамоту президента РФ (2019), а также благодарность правительства РФ.
Детский хирург высшей категории. Сертифицирован по детской хирургии, эндоскопической хирургии, колопроктологии, детской урологии-андрологии.
Лауреат Национальной премии лучшим врачам России "Призвание" в номинации "За проведение уникальной операции, спасшей жизнь человека" (2004; совместно с хирургом Вадимом Берлинским) и др. Имеет знак "Отличник здравоохранения" Минздрава РФ (2012). Трижды удостоен грантов президента РФ (2006-2007; 2008-2009; 2010-2011).
Автор свыше 550 научных работ, статей, монографий, учебных пособий и др., редактор нескольких российских научных сборников. Автор 11 патентов РФ. Член редколлегий и редакционных советов журналов "Детская хирургия", "Вопросы практической педиатрии" и др. Член экспертного совета по хирургии ВАК РФ (с 2019 г.). Под его руководством защищено десять кандидатских и одна докторская диссертации.