Родился 10 декабря 1956 г. в станице Змейская Кировского района Северо-Осетинской АССР (ныне Республика Северная Осетия).
В 1974 г. окончил Московское суворовское училище, в 1978 г. - Московское высшее общевойсковое командное училище им. Верховного совета РСФСР (специальность - "офицер с высшим военно-специальным образованием - инженера по эксплуатации гусеничных и колесных машин"), в 1988 г. - Краснознаменный институт КГБ СССР им. Ю. В. Андропова (ныне Академия внешней разведки) по специальности "референт-международник". В 1997-1999 гг. учился в аспирантуре Академии МВД РФ.
Кандидат юридических наук.
Кандидат экономических наук. В 2002 г. в Волго-Вятской академии государственной службы защитил диссертацию на тему "Теоретические проблемы экономической безопасности негосударственных субъектов экономики России".
С 1974 по 1994 г. - во внешней разведке. Служил в Первом главном управлении (внешняя разведка) КГБ СССР, Службе внешней разведки. Работал в министерстве иностранных дел в управлении Ближнего и Среднего Востока.
После увольнения в запас в 1994 г. занял пост генерального директора частного охранного предприятия "Альтернатива-М".
С 1997 г. был президентом некоммерческого партнерства "Холдинг коммерческой безопасности "Альтернатива-М".
С 1998 по 2001 г. преподавал курс лекций "Оценка и управление рисками" в центре корпоративного предпринимательства Высшей школы экономики.
В 2000-2001 гг. - главный советник аппарата полномочного представителя президента РФ в Центральном федеральном округе Георгия Полтавченко.
С августа 2001 г. по декабрь 2003 г. - член Совета Федерации РФ от законодательного собрания Рязанской области. С января 2002 г. по декабрь 2003 г. - первый заместитель председателя комиссии СФ по информационной политике. Входил в состав комитетов Совфеда по финансовым рынкам и денежному обращению, по обороне и безопасности.
В 2003-2007 гг. - депутат Государственной думы РФ IV созыва. Был избран 7 декабря 2003 г. по Шиловскому одномандатному округу №150 (Рязанская область). Баллотировался от партии "Единая Россия". До 2004 г. был членом партийной фракции. В октябре 2004 г. перешел во фракцию партии "Родина", стал также членом партии.
С 2004 по 2006 г. возглавлял отделение "Родины" в Рязанской области.
В марте 2004 г. принимал участие в выборах губернатора Рязанской области. Баллотировался в качестве независимого кандидата. 14 марта в первом туре занял первое место из восьми претендентов с результатом 28,94%. Во втором туре 28 марта проиграл выборы (40,32%) своему сопернику, депутату Госдумы РФ, генерал-полковнику Георгию Шпаку (53,51%).
Участвовал в выборах 20 марта 2005 г. в Рязанскую областную думу IV созыва. Был выдвинут партией "Родина" (возглавлял список кандидатов), после прохождения партии в облдуму (12,97%; третье место после "Единой России" и КПРФ) отказался от мандата.
С 2006 г., после слияния "Родины" с Партией пенсионеров и Партией жизни в "Справедливую Россию" Игорь Морозов возглавил региональное отделение новой партии в Рязанской области.
С мая 2009 г. по сентябрь 2012 г. - заместитель руководителя Федерального агентства по делам СНГ, соотечественников, проживающих за рубежом, и по международному гуманитарному сотрудничеству (Россотрудничество в эти годы последовательно возглавляли Фарит Мухаметшин, Константин Косачев).
В августе 2012 г. был выдвинут кандидатом в губернаторы Рязанской области от партии "Патриоты России". Однако в сентябре, за месяц до голосования, снял свою кандидатуру. Руководство партий "Патриоты России" и "Единая Россия" договорились о совместной поддержке на выборах врио главы региона Олега Ковалева. Игорю Морозову было предложено занять место сенатора от области.
Избирался депутатом Рязанской областной думы VI и VII созывов от партии "Единая Россия". На выборах 13 сентября 2015 г. возглавлял территориальную группу №14 списка кандидатов, на выборах 13 сентября 2020 г. баллотировался под вторым номером общей части списка.
С 2012 по 2022 г. - член Совета Федерации Федерального собрания РФ от Рязанской области.
С 6 декабря 2012 по сентябрь 2017 г. представлял в Совфеде исполнительную власть Рязанской области, был членом комитета СФ по международным делам. С 26 октября 2017 г. был представителем в Совфеде от Рязанской областной думы. С ноября 2017 г. по февраль 2018 г. входил в комитет по международным делам, с февраля 2018 г. по сентябрь 2020 г. был заместителем председателя комитета по науке, образованию и культуре. В октябре 2020 г. стал членом комитета Совета Федерации по экономической политике. Сложил сенаторские полномочия досрочно 16 ноября 2022 г., заявив, что намерен сосредоточиться на работе в Координационном комитете по экономическому сотрудничеству со странами Африки.
Председатель Координационного комитета по экономическому сотрудничеству со странами Африки (АФРОКОМ).
Полковник ФСБ в запасе.
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2018).
Автор монографии "Геоэкономические реалии и безопасность", книг "Управление рисками в условиях переходной экономики", "Технологии против терроризма" и др.
Владеет фарси, английским, немецким языками.
Чемпион Вооруженных сил РФ 1976 г. по военно-прикладному многоборью.
Увлекается экстремальным плаванием. В 2002 г. переплыл Каспийское море, в 2004 и 2007 г. - Черное море.
Один из организаторов открытого конноспортивного фестиваля стран СНГ и Балтии Кубок "Содружество", председатель комитета по дистанционным пробегам Федерации конного спорта.
Член Всемирной ассоциации частных детективов "WAD", Глобальной информационной сети детективов (Global Investigators Network, GIN).