Родился 21 марта 1825 г. в Роченсальме (Выборгская губерния, Великое княжество Финляндское в составе Российской империи; ныне г. Котка, Финляндия). Его отец, Федор Тимофеевич Можайский, служил лоц-капитаном Роченсальмской крепости, впоследствии был произведен в адмиралы.
В 1841 г. Александр Можайский окончил Морской кадетский корпус в Санкт-Петербурге, после чего поступил на военно-морской флот. В чине мичмана (1843), а затем лейтенанта (1849) служил на различных кораблях в Балтийском и Белом морях.
В 1853-1855 гг. Александр Можайский участвовал в экспедиции под командованием вице-адмирала Евфимия Путятина, целью которой было установление дипломатических сношений с Японией, которая тогда поддерживала политику самоизоляции (сакоку). Можайский был одним из семи лейтенантов на борту фрегата "Диана". 23 декабря 1854 г. "Диана", находившаяся на рейде в бухте японского г. Симода (остров Хонсю, южная оконечность полуострова Идзу) получила серьезные повреждения и при попытке отбуксировать ее в более безопасную бухту у деревни Хэда (западное побережье Идзу) затонула. Экспедиция была вынуждена расквартироваться в Хэде, где Путятин продолжил переговоры с японцами и заключил в итоге Симодский трактат об установлении дипотношений. Александр Можайский был главным (по другим сведениям - одним из главных) руководителей строительства шхун для эвакуации основной части экспедиции. Это были первые корабли современного западного образца, построенные в Японии.
В июне 1855 г. Александр Можайский на американском торговом корабле вернулся из Японии в Россию, был назначен командиром флотилии малых судов Николаевского поста (ныне Николаевск-на-Амуре, Хабаровский край), а затем командиром транспорта "Двина". В 1856 г. Александр Можайский вернулся на Балтийский флот, служил офицером на бриге "Антенор" и винтовом фрегате "Гремящий". В 1858 г. участвовал в Хивинской экспедиции, составил описание водного бассейна Аральского моря и Амударьи. В 1860 г. в чине капитан-лейтенанта был назначен командиром самого современного на тот момент в русском флоте парусно-винтового клипера "Всадник".
В 1862 г. Александр Можайский был уволен с флотской службы, работал в гражданских ведомствах по проведению крестьянской реформы и отмены крепостного права в Вологодской губернии. Затем работал в "Обществе северного пароходства" в Санкт-Петербурге и "Русском обществе пароходства и торговли" в Одессе. В 1869 г. Александр Можайский получил в наследство от старшего брата богатое имение Вороновица в Подольской губернии (ныне пос. Вороновица, Винницкая обл., Украина). В 1873-1876 гг. занимал должность мирового судьи.
После возвращения из экспедиции в Японию Александр Можайский увлекся идеей создания летательного аппарата тяжелее воздуха. Он изучал строение различных видов птиц, в усадьбе Вороновица изготовил несколько моделей планера (воздушного змея), который мог поднять человека, оторвавшись от земли при помощи конной тяги. В 1876 г. Александр Можайский переехал в Санкт-Петербург, где демонстрировал публике полеты моделей самолетов с неподвижным относительно корпуса крылом, которые приводились в действие закрученной пружиной. В 1878 г. Можайский подал в министерство проект полноразмерного самолета - "воздухоплавательного снаряда", но получил отказ и в дальнейшем занимался этим проектом на собственные средства, а также пожертвования. Патент на свое изобретение он поучил в 1881 г. и в 1882 г. в Красном Селе к югу от Санкт-Петербурга начал постройку аппарата.
Сведения о самолете Можайского скудны, так как построенный аппарат отличался от проекта, на который был выведен патент. Точно известно, что самолет имел фюзеляж в виде лодки и большое прямоугольное крыло, поддерживавшееся проволоками, крепившимися сверху к двум "мачтам", а снизу - к шасси. Двигателями служили два паровых котла мощностью 20 и 10 лошадиных сил, которые приводили в действие три винта. Самолет был оснащен четырехопорным шасси. По различным оценкам, размах крыла самолета составлял около 23 м, длина - 23-25 м, высота - до 8 м. Масса - 1-1,5 т.
Никаких исторических документов, которые бы зафиксировали результаты испытаний самолета, не сохранилось. По некоторым сведениям, в 1884 или 1885 г. была произведена одна попытка полета, которая закончилась неудачей, но при этом самолет с пилотом на борту смог на короткое время оторваться от земли. Исследования в XX веке показали, что мощности паровых двигателей с учетом предполагаемых размеров и массы самолета было недостаточно, чтобы он смог подняться в воздух и совершить устойчивый горизонтальный полет. Ряд источников утверждает, что в 1890-х гг. сыновья Можайского перевезли его самолет в имение под Вологдой, где он впоследствии сгорел.
В 1879-1882 гг., занимаясь созданием самолета, Александр Можайский восстановился на флотской службе, преподавал в Морском кадетском корпусе. В 1882 г. он окончательно ушел в отставку, в 1886 г. был произведен в контр-адмиралы. Последние годы жизни пытался найти средства на восстановление и модернизацию своего самолета.
Скончался 1 апреля (20 марта по старому стилю) 1890 г. на 66-м году жизни в Санкт-Петербурге. Похоронен на Смоленском кладбище.
Александр Можайский был награжден орденами Святого Станислава II степени (1855), Святого Владимира IV степени (1859), медалью "В память войны 1853-1856" на Андреевской ленте (1856).
Был женат на Любови Дмитриевне Кузьминой (1843-1866). Сыновья: Александр (1863-1922) - депутат Государственной думы Российской империи IV созыва (1912-1917), и Николай (1865-1913).
С 1940-х гг. Можайский получил признание как один из пионеров мировой авиации. Неудача его самолета была во многом оправдана тем, что на современном ему уровне технологий построить полноразмерную летательную машину, способную к самостоятельному пилотируемому полету, было невозможно.
В 1962 г. в его честь был переименован поселок Котельниково под Вологдой, в 1966 г. в усадьбе там был открыт дом-музей Александра Можайского (ныне филиал Вологодского музея-заповедника). В 1971 г. Музей авиации им. Можайского был открыт в усадебном дворце в Вороновицах на Украине, ныне он называется Вороновицким музеем истории и космонавтики Украины.
Имя Александра Можайского носят Военно-космическая академия в Санкт-Петербурге, Музей пионеров авиации и космонавтики в Красном Селе (Санкт-Петербург), улицы в ряде городов России и бывшего СССР, открытый в 1978 г. астероид 2859 главного пояса астероидов. Памятник изобретателю установлен в Красном Селе.