Родился 12 апреля 1978 г. в Бердичеве (Житомирская область Украинской ССР, ныне Украина).
В 1999 г. получил диплом актерского факультета Воронежской государственной академии искусств (ныне Воронежский государственный институт искусств). В 2006 г. окончил в Москве режиссерский факультет Театрального института им. Бориса Щукина при Государственном академическом театре им. Евгения Вахтангова (выпускник курса заслуженного деятеля искусств РФ Михаила Борисова), в 2006-2008 гг. там же прошел ассистентуру-стажировку.
С 1999 по 2002 г. Юрий Муравицкий работал актером в Самарском академическом театре драмы им. М. Горького.
В 2007 г. Юрий Муравицкий в рамках сотрудничества с театральным объединением "Северная сцена" поставил в г. Новом Уренгое (Ямало-Ненецкий автономный округ) спектакль "Остров Рикоту" по произведению Наталии Мошиной. В том же году в Омском государственном академическом театре драмы состоялась премьера его постановки пьесы-сказки Карло Гоцци "Турандот".
В 2008 г. в московском театре документальной пьесы "Театр.doc" осуществил постановку поэтического спектакля "Кубик Рубика", в 2011 г. - спектакля "Зажги мой огонь" (этюды из жизни Джима Моррисона, Дженис Джоплин и Джими Хендрикса). В 2012 г. "Зажги мой огонь" был отмечен театральной премией "Золотая маска" в номинации "Лучший спектакль-эксперимент". В текущий репертуар "Театра.doc" входят постановки Юрия Муравицкого "28 дней" по пьесе Ольги Шиляевой и "Длань Господня" по произведению Роберта Аскинса.
В 2011 г. в Калининградском областном драматическом театре инсценировал пьесу Евгения Замятина "Блоха".
В 2013-2020 гг. Юрий Муравицкий являлся художественным руководителем независимого театра "18+" в Ростове-на-Дону. Поставил в нем спектакли "Папа" по произведению Любови Мульменко, "Невероятные приключения Юли и Наташи" по собственной пьесе, написанной в соавторстве с Германом Грековым, и "Ханана" по произведению Германа Грекова.
С 2014 г. является куратором актерской лаборатории в Московской школе нового кино.
В 2020 г. поставил в Московском театре на Таганке спектакль "Lё Тартюф. Комедия" по мотивам произведения Мольера, в 2021 г. - спектакль "Вишневый сад. Комедия" по мотивам пьесы Антона Чехова.
С декабря 2021 г. по февраль 2023 г. являлся главным режиссером Московского театра на Таганке.
Автор пьес "Одноклассники", "Фома", "Круги на полях" и др.