Родился 2 сентября 1914 г. (по старом стилю 20 августа) в городе Гори Тифлисской губернии (Грузия) в семье учителя.
В 1936 г., после окончания Закавказского индустриального института (Тбилиси), переехал в Москву. В 1940 г. с отличием окончил Московский авиационный институт по специальности "самолетостроение".
Академик Академии наук СССР (1981). Доктор технических наук (1969). Профессор (1972).
Работал лаборантом в авиамодельной лаборатории Грузинского совета Осоавиахима (Общество содействия обороне, авиационному и химическому строительству).
С 1938 г. работал в Центральном аэрогидродинамическом институте (ЦАГИ) инженером, затем — руководителем группы. Создал шасси на воздушной подушке (установлено на самолете УТ-2Н).
В 1941 г. был назначен главным конструктором по убирающимся шасси Опытного конструкторского бюро (ОКБ) Московского завода № 22 имени С.П. Горбунова.
В том же году приступил к исследованиям в области ракетной техники.
В 1945 г. организовал ОКБ при факультете реактивного вооружения Московского механического института Наркомата боеприпасов и был назначен его главным конструктором и руководителем. Одновременно читал на факультете лекции по проектированию ракет и пусковых установок. Проводил научно-исследовательские работы по двухступенчатым ракетам и турбореактивным снарядам.
В 1948 г. ОКБ вошло в состав КБ-2 Министерства сельскохозяйственного машиностроения СССР (Минсельхозмаша), куда Надирадзе был переведен главным конструктором. Возглавлял подразделение, где велась разработка неуправляемых зенитных ракет и противотанковых реактивных снарядов. С 1950 г. под его руководством началась разработка зенитного реактивного снаряда залпового огня "Стриж" (Р-102).
В 1951 г. КБ-2 было реорганизовано и вошло в состав ГСНИИ-642 (Государственный союзный научно-исследовательский институт) Минсельхозмаша, где были объединены несколько конструкторских бюро по разработке крылатых и пороховых ракет, радиоуправляемых и самонаводящихся авиабомб.
В том же году была запущена первая советская метеорологическая ракета МР-1, созданная под руководством Александра Надирадзе. В октябре 1951 г. ему была поручена разработка авиационного комплекса "Чайка" с радиоуправляемой фугасной бомбой УБ-2000Ф. Испытания были завершены в конце 1955 г., 1 декабря того же года комплекс с авиабомбой был принят на вооружение.
В 1953 г. возглавил работы по реактивной зенитной системе системе "Ворон", использовавшей ракеты "Стриж".
В 1957 г., в связи с объединением ГСНИИ-642 с ОКБ-52 (будущее "НПО Машиностроения", г. Реутов, Московская область), стал заместителем главного конструктора бюро, Владимира Челомея.
В 1958 г. был направлен на работу в НИИ-1 (в 1965 г. переименован в Московский институт теплотехники, ныне ОАО "Корпорация "Московский институт теплотехники") на должность начальника Специального конструкторского бюро, с 1961 г. по 1987 г. - директор - главный конструктор. Долгое время институт, возглавляемый Александром Надирадзе, был самым засекреченным даже среди разработчиков ракетного оружия.
Под его непосредственным руководством разработан комплекс с оперативно-тактической ракетой "Темп" (первый пуск 20 мая 1960 г.), ракетный комплекс "Темп-С" (первый в СССР мобильный комплекс с управляемой баллистической ракетой, принят на вооружение в 1965 г.), "Темп-2С" (1975), "Пионер" (1976), "Пионер-УТТХ" (1981) и др., заложены основы создания ракетного комплекса "Тополь".
В эти годы коллектив института разработал и сдал на вооружение ракетный комплекс "Луна-М", противолодочные комплексы "Вихрь" и "Ливень", ракетные двигатели твердого топлива для космических аппаратов "Восход", "Союз", "Космос", "Прогресс".
Все оперативно-тактические комплексы, созданные под руководством Надирадзе были уничтожены по Договору о ликвидации ракет средней и меньшей дальности (РСМД), подписанному 8 декабря 1987 г. главой СССР Михаилом Горбачевым и президентом США Рональдом Рейганом.
Александр Надирадзе скончался 3 сентября 1987 года. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище.
Избирался депутатом районного Совета, был делегатом двух съездов КПСС.
Дважды Герой Социалистического Труда (1976, 1982). Лауреат Ленинской (1966) и Государственной премий СССР (1987). Заслуженный изобретатель РСФСР (1973). Награжден четырьмя орденами Ленина (1968, 1974, 1976, 1982), орденом Октябрьской Революции (1984), медалями.