Родился 13 октября 1939 г. в Витебске (Белорусская ССР, ныне - Белоруссия) в семье Виталия Иосифовича и Марии Марковны Неведомских. Отец был хирургом, мать - микробиологом.
После окончания Великой Отечественной войны учился в школах Хабаровска и Свердловска (ныне - Екатеринбург). В середине 1950-х гг. познакомился с главным режиссером Свердловского театра юного зрителя Владимиром Мотылем. Будучи девятиклассником, начал участвовать в постановках этого театра. В конце 1950-х гг. играл в Новгородском областном театре драмы.
В начале 1960-х гг. проходил службу в Советской армии.
В 1967 г. окончил Ленинградский государственный институт театра, музыки и кинематографии (ныне - Российский государственный институт сценических искусств, Санкт-Петербург).
С 1967 г. по 2018 г. являлся актером Российского государственного академического Большого драматического театра им. Г. А. Товстоногова (Санкт-Петербург). Дебютировал на его сцене в роли Джона Рида в пьесе Даниила Аля "Правду! Ничего, кроме правды!!!" (режиссер Георгий Товстоногов). В дальнейшем исполнял различные роли в спектаклях: "Традиционный сбор" по пьесе Виктора Розова, "Карьера Артуро Уи" по произведению Бертольта Брехта, "Ревизор" по комедии Николая Гоголя, "Ханума" по пьесе Авксентия Цагарели, "Три мешка сорной пшеницы" по произведению Владимира Тендрякова, "Прошлым летом в Чулимске" по пьесе Александра Вампилова, "Дачники" и "На дне" по пьесам Максима Горького, "Тихий Дон" по произведению Михаила Шолохова, "Оптимистическая трагедия" по пьесе Всеволода Вишневского, "Коварство и любовь" по драме Фридриха Шиллера, "Дворянское гнездо" и "Месяц в деревне" по произведениям Ивана Тургенева, "Борис Годунов" по трагедии Александра Пушкина и др. В последние годы жизни выходил на сцену в постановках "Мария Стюарт" по трагедии Фридриха Шиллера и "Дама с собачкой" по произведению Антона Чехова.
Леонид Неведомский был известен в качестве киноактера. Дебютной для него стала роль сельского коммуниста Степана Чеботаря в драме Валериу Гажиу и Вадима Лысенко "Горькие зерна" (1966, киностудия "Молдова-фильм"). В дальнейшем снимался в фильмах и сериалах: "Степень риска" по мотивам повести Николая Амосова "Мысли и сердце" (1968, режиссер Илья Авербах), "Ижорский батальон" (1972, Геннадий Казанский), "Приваловские миллионы" по роману Дмитрия Мамина-Сибиряка (1972, Ярополк Лапшин), "Мачеха" по повести Марии Халфиной (1973, Олег Бондарев), "Цыган" по роману Анатолия Калинина (1979, Александр Бланк), "Семен Дежнев" (1983, Николай Гусаров), "Возвращение Будулая" (1985, Александр Бланк), "Тишина" по роману Юрия Бондарева (1992, Ольгерд Воронцов), "Империя под ударом" (2000, Андрей Малюков и др.), "Конвой PQ-17" (2004, Александр Котт), "Диверсант. Конец войны" (2007, Игорь Зайцев) и др. Одна из последних ролей - Егор Михайлович в мелодраматическом сериале Влада Фурмана "Семейный дом" (2010). В общей сложности актер снялся в более чем 100 фильмах и сериалах.
Леонид Неведомский скончался 3 июня 2018 г. в Санкт-Петербурге в возрасте 78 лет. Похоронен 7 июня 2018 г. на Литераторских мостках Волковского кладбища в Санкт-Петербурге.
Был членом Союза кинематографистов РФ.
Народный артист РФ (1994).
Был награжден медалью Пушкина (2004), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2009), отмечен благодарностью президента РФ (2015).
Являлся лауреатом высшей театральной премии Санкт-Петербурга "Золотой софит" (2000, за роль Захара в спектакле "Обломов" театра "Русская антреприза" им. Андрея Миронова).
Был дважды женат. Первая супруга - актриса Наталия Дмитриева, вторая - кандидат педагогических наук, преподаватель Валентина Гоголева. Дочь от первого брака Полина Неведомская (род. 1970) - хореограф, режиссер.