Родился 18 января 1950 г. в станице Староминская (Краснодарский край) в семье партийного работника. Детство и юность провел в Астрахани.
В 1967-1968 гг. Борис Невзоров был актером вспомогательного состава в Астраханском государственном театре юного зрителя.
В 1968 г. поступил в Москве в Высшее театральное училище им. М. С. Щепкина (ныне Высшее театральное училище, институт, им. М. С. Щепкина при Государственном академическом Малом театре). В 1970 г. прекратил учебу по собственному желанию.
В 1975 г. Борис Невзоров окончил Школу-студию им. Вл. И. Немировича-Данченко при Московском художественном академическом театре СССР им. М. Горького (ныне Школа-студия, институт, им. Вл. И. Немировича-Данченко при Московском художественном театре им. А. П. Чехова). Выпускник курса заслуженного деятеля искусств РСФСР Виктора Монюкова.
В 1975-1982, 1986-1988 гг. Борис Невзоров был актером московского Нового драматического театра, в 1984-1986 гг. - Государственного академического театра им. Моссовета, в 1988-1989 гг. - Московского драматического театра им. Н. В. Гоголя.
В 1993-2005 гг. состоял в труппе Московского драматического театра им. К. С. Станиславского (ныне Электротеатр "Станиславский"). Был задействован в постановках: "Прошлым летом в Чулимске" по пьесе Александра Вампилова, "Моя прекрасная леди" по мотивам произведения Бернарда Шоу, "Пойти и не вернуться" по роману Василя Быкова, "Пир в саду" по произведению Эдварда Олби, "Дачники" по пьесе Максима Горького.
С 2005 г. Борис Невзоров являлся актером Государственного академического Малого театра. Исполнял роли в спектаклях "Дмитрий Самозванец и Василий Шуйский" по пьесе Александра Островского и "Дон Жуан" по драматической поэме Алексея Толстого, "Ревизор" по произведению Николая Гоголя, "Волки и овцы" по комедии Александра Островского, "Свадьба, свадьба, свадьба!" по водевилям Антона Чехова, "Дети Ванюшина" по пьесе Сергея Найденова, "Маскарад" по произведению Михаила Лермонтова, "Король Лир" по трагедии Уильяма Шекспира, "Идиот" по роману Федора Достоевского.
Борис Невзоров дебютировал в кино в роли строителя Павла Андреева в фильме "Дорога" (1975, режиссер Леонид Попов). Среди наиболее известных киноработ: Иван Савватеевич Рябов в историческом фильме "Россия молодая" (1981-1982, Илья Гурин), директор школы Борис Иванович Комаров в сериале "Простые истины" (1999-2000, Юрий Беленький), Федотов в социальной драме "Дурак" (2014, Юрий Быков). В общей сложности Борис Невзоров снялся в более чем 100 фильмах и сериалах.
В качестве режиссера поставил картину "У попа была собака…" (1993), также был одним из режиссеров телесериала "Женщина без прошлого" (2008).
Являлся членом Союза кинематографистов России.
Народный артист РФ (2011).
Борис Невзоров был награжден орденом Дружбы (2021).
Лауреат Государственной премии РСФСР им. братьев Васильевых (1985, за роль в фильме "Россия молодая").
Был отмечен призами за лучшую мужскую роль XV Всесоюзного кинофестиваля (1982, "Люди на болоте") и кинофестиваля "Киношок" (1993, "Наводнение").
Борис Невзоров скончался 18 февраля 2022 г. в Москве на 73-м году жизни. Похоронен на Троекуровском кладбище.