Родился 20 марта 1938 г. в гор. Горьком (ныне Нижний Новгород) в семье математиков. Его отец, Петр Сергеевич Новиков (1901-1975), впоследствии стал академиком Академии наук (АН) СССР. Мать, Людмила Всеволодовна Келдыш (1904-1976), - сестра президента Академии наук СССР (1961-1975) Мстислава Келдыша.
В 1960 г. Сергей Новиков окончил механико-математический факультет Московского государственного университета (МГУ) им. М. В. Ломоносова.
В 1960-1963 гг. обучался в аспирантуре Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР (МИАН; ныне Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Москва).
Доктор физико-математических наук. В 1964 г. защитил кандидатскую диссертацию (тема: "Гладкие расслоения на сферы"), в 1965 г. - докторскую диссертацию ("Гомотопически эквивалентные гладкие многообразия").
В 1966 г. был избран членом-корреспондентом, в 1981 г. - академиком АН СССР (ныне Российская академия наук, РАН) по Отделению математики.
После окончания аспирантуры Сергей Новиков остался работать в МИАН. Сначала был младшим, а с 1965 г. - старшим научным сотрудником.
По совместительству с 1964 г. стал преподавать на механико-математическом факультете МГУ. В 1964-1982 гг. - профессор кафедры дифференциальной геометрии.
Одновременно с 1971 по 1993 г. заведовал сектором математики в Институте теоретической физики (ИТФ) им. Л. Д. Ландау (г. Черноголовка, Московская обл.). В 1975 г. ИТФ стал основным местом работы Сергея Новикова, в МИАН он остался внештатным сотрудником.
С декабря 1982 г. по н. в. - заведующий кафедрой высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ.
С 1984 г. по н. в. заведует отделом геометрии и топологии МИАН.
С 1984 по 1991 г. возглавлял комиссию по геометрии и топологии при Отделении математики АН СССР.
В 1985-1996 гг. был президентом Московского математического общества (ММО). С 2010 г. по н. в. - почетный президент ММО.
В 1986-1990 гг. - вице-президент Международной ассоциации математической физики.
В 1986-2022 г. - главный редактор журнала "Успехи математических наук" АН СССР, затем РАН.
С 1993 г. являлся главным научным сотрудником Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау.
В настоящее время - главный научный сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова.
Был приглашенным профессором в ряде зарубежных организаций, в т. ч. в Лаборатории теоретической физики (Франция, 1991), Мэрилендском университете в Колледж-Парке (США, 1992-1996), Корейском институте перспективных исследований (2000-2002), Институте математических наук Исаака Ньютона (Великобритания, 2009) и др.
Основные направления исследований ученого: алгебраическая и дифференциальная топология, аналитическая механика, общая теория относительности, квантовая теория поля, физика твердого тела и др. Сергей Новиков доказал топологическую инвариантность характеристических классов Понтрягина, создал качественную теорию слоений и многозначных функций, теорию космологических моделей, теорию конечнозонных решений нелинейных систем. С его именем связан ряд математических понятий: теория Браудера-Новикова, спектральная последовательность Адамса-Новикова, гипотеза Новикова в алгебраической топологии о высших сигнатурах, кольца Новикова и неравенства Новикова для числа критических точек и др.
Сергей Новиков - автор и соавтор около 200 научных работ по математике и математической физике. Среди них - "Гомотопически эквивалентные гладкие многообразия" (1964), "О многообразиях абелевых фундаментальных групп" (1966), "Методы алгебраической топологии" (1967), "Голоморфные расслоения" (1980), "Элементы дифференциальной геометрии и топологии" (1987), "Современные геометрические структуры и поля" (2005), "Современная геометрия. Методы и приложения" (2013) и др.
Лауреат Ленинской премии (1967; за цикл работ по дифференцируемым многообразиям), премии им. Дж. Филдса (Международный математический союз, 1970), премии Вольфа (Израиль, 2005).
Награды АН СССР и РАН: премия им. Н. И. Лобачевского (1980), Золотая медаль им. Н. Н. Боголюбова (2009), Золотая медаль им. Леонарда Эйлера (2012), Большая золотая медаль им. М. В. Ломоносова (2020).
Был избран членом многих зарубежных научных обществ и академий, в т. ч. Лондонского математического общества (1987), Сербской академии наук и искусств (1988), Европейской академии наук (1993), Национальной академии наук США (1994), Черногорской академии наук и искусств (2011) и др.
Заслуженный профессор Московского университета (1999).