Родился 19 февраля 1935 г. в Могилеве (Белорусская ССР, ныне Белоруссия).
В 1949-1950 гг. учился в Могилевском машиностроительном техникуме, затем полгода - в Рижском мореходном училище (Латвийская ССР).
В 1957 г. окончил в Минске актерский факультет Белорусского государственного театрально-художественного института (ныне Белорусская государственная академия искусств). Выпускник курса народного артиста Белорусской ССР Константина Санникова.
С 1957 г. по н. в. Геннадий Овсянников служит в Национальном академическом театре им. Янки Купалы (в советское время - Белорусский государственный академический театр им. Янки Купалы). Был задействован в нескольких десятках спектаклей. Среди них: "Ревизор" по комедии Николая Гоголя, "Поздняя любовь" и "Доходное место" по пьесам Александра Островского, "Три сестры" и "Чайка" по произведениям Антона Чехова, "Буря" по пьесе Уильяма Шекспира, "Коварство и любовь" по драме Фридриха Шиллера. В настоящее время играет в постановках "Вечер" по драме Алексея Дударева и "Павлинка" по комедии Янки Купалы.
Геннадий Овсянников снимается в кино. Среди фильмов с его участием: "Батька" (1971, режиссер Борис Степанов), "Последнее лето детства" (1974, Валерий Рубинчик), "Обелиск" по произведению Василя Быкова (1976, Ричард Викторов), "Купальская ночь" (1982, Валерий Басов).
Многократно участвовал в записи радиоспектаклей.
Народный артист СССР (1991).
Награжден орденами "Знак Почета", Трудового Красного Знамени, Франциска Скорины (Белоруссия, 2006).
Лауреат Государственной премии Белорусской ССР (1988).
Обладатель специальной премии президента Белоруссии "За духовное возрождение" (2008), спецприза президента Белоруссии "За сохранение и развитие традиций духовности в киноискусстве" Минского международного кинофестиваля "Листопад" (2016).
Женат третьим браком. Супруга - Нина Владимировна.