Родился 21 февраля 1925 г. в Боровске (Калужская губерния, ныне - Калужская область) в семье Александра Георгиевича Парамонова (1891-1950) и Наталии Николаевны Нагибиной (1895-1968). В 1927 г. семья переехала в Москву.
Во время Великой Отечественной войны работал на столичных заводах, выпускавших продукцию оборонного назначения.
В 1944-1945 гг. выступал за московскую любительскую команду "Строитель". Игровые позиции - атакующий полузащитник, форвард.
В 1946-1947 гг. - игрок московской футбольной команды Военно-воздушных сил (ВВС).
В 1947-1959 гг. выступал за московский "Спартак". В его составе стал четырехкратным чемпионом СССР (1952, 1953, 1956, 1958) и двукратным обладателем Кубка страны (1950, 1958), а также двукратным серебряным (1954, 1955) и трехкратным бронзовым (1948, 1949, 1957) призером первенства Советского Союза. В общей сложности провел за команду 302 матча, забил 73 мяча.
В 1954-1957 гг. - игрок сборной СССР. В 1956 г. в ее составе стал победителем футбольного турнира в рамках XVI летних Олимпийских игр (Мельбурн, Австралия). В общей сложности провел за сборную СССР 13 официальных матчей.
В 1956 г. в составе сборной Москвы по футболу стал победителем I летней Спартакиады народов СССР.
В 1959 г. завершил игровую карьеру.
В 1960 г. окончил факультет физического воспитания Московского областного педагогического института им. Н. К. Крупской (ныне - Московский государственный областной университет), после чего приступил к тренерской деятельности.
В 1960-1965 гг. возглавлял юношескую сборную СССР.
В 1965-1967 и 1976-1977 гг. - главный тренер клуба "Этуаль дю Сахель" (г. Сус, Тунис). В 1966 г. привел его к победе в национальном чемпионате.
Был помощником главных тренеров сборной СССР (1969-1971, 1973-1974) и молодежной сборной страны (1967-1969, 1979-1984).
Работал в Управлении футбола Спорткомитета СССР. Являлся ответственным секретарем Федерации футбола СССР (1985-1991), членом комитетов Союза европейских футбольных ассоциаций (Union of European Football Associations, UEFA; УЕФА) по проведению еврокубков (1984-1991) и по мини-футболу (1991-1995).
В 1997-2005 гг. - советник президента Российского футбольного союза (РФС) Вячеслава Колоскова.
Также занимал должности председателя комитета ветеранов футбола РФС и заместителя председателя комитета ветеранов Московской федерации футбола.
Алексей Парамонов скончался 24 августа 2018 г. в Москве на 94-м году жизни. Похоронен 27 августа 2018 г. на столичном Ваганьковском кладбище.
Заслуженный мастер спорта СССР (1953), заслуженный тренер РСФСР (1980), заслуженный работник физической культуры РСФСР (1985).
Награжден орденами "Знак Почета" (1957), Дружбы (1995), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (1999), Почета (2005), медалью "За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.", Почетной грамотой президента РФ (2016).
Отмечен серебряным Олимпийским орденом Международного олимпийского комитета (2001), Рубиновым орденом УЕФА (2001), орденом Международной федерации футбола "За заслуги" (2006).
Почетный гражданин Боровска (2008).
Автор методического пособия "Игра полузащитников" (1964) и книги воспоминаний "Спартаковец навсегда. Футбол длиною в жизнь" (2014).
Супруга - Юлия Васильевна Парамонова (1926-2016), архитектор. Дочь Елена (род. 1953, выпускница экономического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова).