Родился 21 февраля 1925 г. в Боровске (Калужская губерния, ныне Калужская область). С 1927 г. проживал с родителями в Москве.
Во время Великой Отечественной войны 1941-1945 гг. работал на столичных заводах, выпускавших продукцию оборонного назначения.
В 1960 г. Алексей Парамонов окончил факультет физического воспитания Московского областного педагогического института им. Н. К. Крупской (ныне Государственный университет просвещения).
Карьера игрока
В 1944-1945 гг. Алексей Парамонов выступал за московскую любительскую команду "Строитель". Игровые позиции - атакующий полузащитник, форвард.
В 1946-1947 гг. был игроком московской футбольной команды Военно-воздушных сил.
В 1947-1959 гг. представлял московский "Спартак". В его составе стал четырехкратным чемпионом СССР (1952, 1953, 1956, 1958) и двукратным обладателем Кубка страны (1950, 1958), а также двукратным серебряным (1954, 1955) и трехкратным бронзовым (1948, 1949, 1957) призером первенства Советского Союза. В общей сложности провел за команду 302 матча, забил 73 мяча.
С 1954 по 1957 г. Алексей Парамонов был игроком сборной СССР. В 1956 г. в ее составе стал победителем футбольного турнира в рамках XVI летних Олимпийских игр (Мельбурн, Австралия). В общей сложности провел за сборную СССР 13 официальных матчей.
В 1956 г. в составе сборной Москвы по футболу стал победителем I летней Спартакиады народов СССР.
В 1959 г. завершил карьеру игрока.
Тренерская деятельность
С 1960 по 1965 г. Алексей Парамонов возглавлял юношескую сборную СССР.
В 1965-1967 и 1976-1977 гг. был главным тренером клуба "Этуаль дю Сахель" (гор. Сус, Тунис). В 1966 г. привел его к победе в национальном чемпионате.
Был помощником главных тренеров сборной СССР (1969-1971, 1973-1974) и молодежной сборной страны (1967-1969, 1979-1984).
Административная деятельность
С 1981 по 1991 г. Алексей Парамонов являлся ответственным секретарем Федерации футбола СССР.
В 1983-1990 гг. был членом комитета Союза европейских футбольных ассоциаций (Union of European football associations, UEFA; УЕФА) по проведению еврокубков, в 1991-1994 гг. - комитета УЕФА по мини-футболу.
С 1992 по 1996 г. - заместитель председателя, с 1996 по 2005 г. - председатель комитета ветеранов футбола Российского футбольного союза (РФС).
В 1997-2005 гг. - советник президента РФС Вячеслава Колоскова.
Публикации
Автор методического пособия "Игра полузащитников" (1964) и книги воспоминаний "Спартаковец навсегда. Футбол длиною в жизнь" (2014).
Кончина
Алексей Парамонов скончался 24 августа 2018 г. в Москве на 94-м году жизни. Похоронен на Ваганьковском кладбище.
Звания, награды
Заслуженный мастер спорта СССР (1953). Заслуженный тренер РСФСР (1980). Заслуженный работник физической культуры РСФСР (1985).
Алексей Парамонов был награжден орденами "Знак Почета" (1957), Дружбы (1995), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (1999), Почета (2005), медалью "За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.". Отмечен Почетной грамотой президента РФ (2016).
Был награжден серебряным Олимпийским орденом Международного олимпийского комитета (2001), рубиновым орденом УЕФА (2001), орденом Международной федерации футбола "За заслуги" (2006).
Почетный гражданин Боровска (2008).
Книга об Алексее Парамонове
Жизни и карьере спортсмена посвящена книга "Алексей Парамонов. Футбол - моя судьба" (2005, автор Игорь Горанский).