Родился 29 ноября 1964 г. в г. Петрозаводске Карельской АССР (ныне Республика Карелия).
В 1987 г. окончил юридический факультет Ленинградского государственного университета им. А. А. Жданова (ныне Санкт-Петербургский государственный университет, СПбГУ).
После окончания университета работал в прокуратуре Карельской АССР в должности помощника прокурора Олонецкого района.
В 1988-1991 гг. - следователь прокуратуры Олонецкого района Карельской АССР.
С 1991 по 1995 г. - заместитель прокурора г. Сортавала (Республика Карелия).
В 1995-2006 гг. работал в прокуратуре Петрозаводска: в 1995 г. занял должность заместителя прокурора города, в 2000 г. возглавил надзорное ведомство.
В 2006-2007 гг. возглавлял управление Федеральной службы судебных приставов (ФССП России) по Санкт-Петербургу, был главным судебным приставом Санкт-Петербурга.
С июня 2007 г. по декабрь 2008 г. - заместитель директора ФССП России - заместитель главного судебного пристава РФ. Курировал исполнительное производство, а также вопросы розыска и реализации имущества должников.
С 29 декабря 2008 г. по 15 февраля 2017 г. - директор Федеральной службы судебных приставов - главный судебный пристав РФ.
15 февраля 2017 г. указом президента РФ Владимира Путина был назначен временно исполняющим обязанности главы Республики Карелия. Сменил во главе региона Александра Худилайнена, сложившего полномочия досрочно.
10 сентября 2017 г. был избран главой Республики Карелия. В выборах участвовал от партии "Единая Россия", получил 61,34% голосов избирателей. Второе место на выборах заняла кандидат от партии "Справедливая Россия", депутат заксобрания Карелии Ирина Петеляева (18,05%). 25 сентября того же года Артур Парфенчиков официально вступил в должность.
11 сентября 2022 г. вновь победил на выборах главы Карелии. За него проголосовали 69,15% избирателей (баллотировался от "Единой России"). Его ближайший соперник, кандидат от партии "Справедливая Россия - Патриоты - За правду", начальник центра ООО "Комплексный расчетный центр г. Петрозаводска" Андрей Рогалевич, набрал 13,41%. 26 сентября того же года Артур Парфенчиков официально вступил в должность.
Действительный государственный советник юстиции РФ I класса (2009).
Награжден орденами Почета, "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2020), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2009). Имеет орден им. Ахмата Кадырова (Чеченская Республика, 2009).
Заслуженный юрист РФ (2005). Почетный работник Министерства юстиции РФ и прокуратуры РФ.
В 2017 г. в честь Артура Парфенчикова была названа одна из улиц села Мартан-Чу Урус-Мартановского района Чеченской Республики.
Автор учебного пособия для сотрудников Федеральной службы судебных приставов РФ "Противодействие коррупции" (2016).
Владеет английским языком.