Родился 29 ноября 1964 г. в Петрозаводске Карельской АССР (ныне Республика Карелия).
В 1987 г. окончил юридический факультет Ленинградского государственного университета им. А. А. Жданова (ныне Санкт-Петербургский государственный университет, СПбГУ).
С 1987 г. работал помощником прокурора, с 1988 г. - следователем прокуратуры Олонецкого района Карельской АССР.
С 1991 по 1995 г. - заместитель прокурора г. Сортавала (Республика Карелия).
В 1995-2006 гг. работал в прокуратуре Петрозаводска: в 1995 г. занял должность заместителя прокурора города, в 2000 г. возглавил городское надзорное ведомство.
В 2006-2007 гг. возглавлял управление Федеральной службы судебных приставов (ФССП России) по Санкт-Петербургу, был главным судебным приставом Санкт-Петербурга.
С июня 2007 г. по декабрь 2008 г. - заместитель директора ФССП России - заместитель главного судебного пристава РФ. Курировал исполнительное производство, а также вопросы розыска и реализации имущества должников.
С 29 декабря 2008 г. по 15 февраля 2017 г. - директор Федеральной службы судебных приставов - главный судебный пристав РФ.
С 2017 г. Артур Парфенчиков возглавляет Республику Карелию.
15 февраля 2017 г. указом президента РФ Владимира Путина был назначен врио главы Республики Карелия. Сменил во главе региона Александра Худилайнена.
10 сентября 2017 г. в ходе прямых выборов был избран главой Республики Карелия (баллотировался от "Единой России"). За него проголосовали 61,34% избирателей. Второе место на выборах заняла кандидат от партии "Справедливая Россия", депутат заксобрания Карелии Ирина Петеляева (18,05%). 25 сентября того же года Артур Парфенчиков официально вступил в должность.
11 сентября 2022 г. вновь победил на выборах главы Карелии (был выдвинут "Единой Россией"), получив в свою поддержку 69,15% голосов избирателей. Его ближайший соперник - кандидат от партии "Справедливая Россия - Патриоты - За правду" Андрей Рогалевич - набрал 13,41%. 26 сентября того же года Артур Парфенчиков принял присягу.
Входит в состав Государственного совета РФ.
Секретарь карельского регионального отделения "Единой России" (с июля 2024 г.).
Действительный государственный советник юстиции РФ I класса (2009).
Награжден орденами Почета, "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2020), Александра Невского (2024), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2009). Имеет орден им. Ахмата Кадырова (Чеченская Республика; 2009).
Заслуженный юрист РФ (2005). Почетный работник Министерства юстиции РФ и прокуратуры РФ.
В 2017 г. в честь Артура Парфенчикова была названа одна из улиц села Мартан-Чу Урус-Мартановского района Чеченской Республики.
Автор учебного пособия для сотрудников Федеральной службы судебных приставов РФ "Противодействие коррупции" (2016).
Владеет английским языком.