Родился 19 июня 1941 г. в Москве в семье рабочих.
После окончания седьмого класса средней школы работал токарем на заводе "Красный пролетарий" (Москва). Одновременно учился в школе рабочей молодежи.
В начале 1960-х гг. проходил срочную службу в Вооруженных силах СССР.
С 1965 г. работал маляром в хозяйственных учреждениях Русской православной церкви (РПЦ) Московского патриархата.
Позднее стал сотрудником хозяйственного управления Московской патриархии, где занимал должности начальника отдела снабжения, затем - начальника производственного отдела. Принимал участие в реконструкции Троице-Сергиевой Лавры.
В 1975 г. патриарх Московский и всея Руси Пимен (Извеков) направил Евгения Пархаева в помощь Павлу Булычеву, который был назначен руководителем строящегося в подмосковном поселке Софрино завода церковной утвари. Пархаев отвечал за бесперебойное обеспечение строительства необходимыми материалами, оснащение цехов оборудованием и т. п.
В 1987 г. указом патриарха Пимена был назначен директором художественно-производственного предприятия РПЦ "Софрино", которое выпускает церковную утварь, богослужебные облачения, свечи, иконы и др. Возглавлял предприятие более 30 лет. 28 июля 2018 г. был освобожден от должностей, занимаемых в организациях РПЦ, указом патриарха Московского и всея Руси Кирилла (Гундяева).
19 декабря 1999 г. Евгений Пархаев баллотировался в Государственную думу РФ III созыва по Пушкинскому одномандатному округу №113 (был выдвинут группой избирателей). В Думу не прошел, занял третье место из 12 кандидатов с результатом 14,91% голосов (победу в округе одержала Светлана Савицкая от КПРФ - 22,28%).
В 2002-2018 гг. – генеральный директор гостиницы "Даниловская", находящейся в собственности Московской патриархии.
В 2005 г. Евгений Пархаев возглавил совет директоров "Олд-банка", который в 2006 г. был переименован в банк "Софрино". Кредитная организация получила статус уполномоченного банка по обслуживанию "Единой службы заказчика Московской патриархии" и счетов епархий РПЦ. 2 июня 2014 г. Центробанк РФ отозвал лицензию у банка "Софрино".
Награжден орденами Почета (1995), Дружбы (1999), "За заслуги перед Отечеством" III и IV степеней (2016, 2010). Также имеет две благодарности президента РФ (1996, 2008), Почетную грамоту правительства РФ (1996).
Имеет сына Ивана.