Родился 10 февраля 1977 г. в Рио-де-Жанейро (Бразилия) в семье британских экспатов.
В 2001 г. окончил Федеральный университет Флуминенсе (гор. Нитерой, штат Рио-же-Жанейро), получив степень бакалавра по программе "Маркетинг и связи с общественностью".
В 1997-2001 гг. работал в департаменте коммуникаций Паралимпийского комитета Бразилии (ПКБ).
В 2001-2008 гг. являлся генеральным секретарем ПКБ.
В 2002-2005 гг. - генеральный секретарь Американского паралимпийского комитета (АПК; международная организация, объединяющая национальные паралимпийские комитеты государств Северной и Южной Америки), в 2005-2009 гг. - президент АПК.
Эндрю Парсонс неоднократно выступал в качестве руководителя или заместителя руководителя делегаций ПКБ на крупных международных соревнованиях (чемпионат мира по легкой атлетике среди паралимпийцев, 2002; чемпионат мира по конному спорту среди паралимпийцев, 2003; XII летние Паралимпийские игры в Афинах, 2004; чемпионат мира по плаванию среди паралимпийцев, 2006 и др.).
В 2006-2010 гг. - президент Регионального совета Международного паралимпийского комитета (орган упразднен в 2015 г.).
С февраля 2009 г. по март 2017 г. - президент Паралимпийского комитета Бразилии.
С ноября 2009 г. - член правления Международного паралимпийского комитета.
С ноября 2013 г. занимал пост вице-президента МПК.
8 сентября 2017 г. избран президентом МПК (главой этой организации с 2001 г. был британец Филип Крэйвен, срок полномочий которого подошел к концу). Комментируя ситуацию с отстранением российских паралимпийцев, Парсонс заявил, что не исключает визита в Россию, а также упомянул про хорошие отношения с президентом Паралимпийского комитета России (ПКР) Владимиром Лукиным и его первым заместителем Павлом Рожковым. При этом он отметил важность проведения работы, которая поможет российским спортсменам "воспользоваться шансом участия в соревнованиях и окончательно выполнить пункты восстановления ПКР в Международном паралимпийском комитете".
Удостоен высшей награды Бразилии - ордена "Риу Бранку" (2012).
Владеет португальским, английским и испанским языками.