Родился 4 мая 1976 г. в Краснодаре.
В 2005 г. окончил Кубанский государственный технологический университет по специальности "инженер-теплоэнергетик", в 2011 г. - Северо-Кавказский филиал Российской академии правосудия (Краснодар) по специальности "юриспруденция", в 2017 г. - Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова.
С 1993 г. работал столяром III разряда на Станкостроительном заводе им. Седина в Краснодаре.
В 1994-1996 гг. проходил срочную службу в российской армии.
С 1996 по 2005 г. был сотрудником охраны на Краснодарском нефтеперерабатывающем заводе.
В 2005-2009 гг. занимал должность заместителя директора муниципального предприятия "Парк им. 30-летия Победы" (Краснодар).
С 2005 по 2006 г. – заместитель председателя краснодарского городского отделения партии "Родина".
В 2005-2010 гг. – депутат Городской думы Краснодара IV созыва. 23 октября 2005 г. был избран от партии "Родина" по Береговому одномандатному округу №1, набрав 26,87% голосов избирателей. В Гордуме был заместителем председателя комитета по вопросам местного самоуправления, связи с общественными организациями, со СМИ, миграционных, межнациональных и религиозных отношений, делам казачества и военнослужащих.
В октябре 2006 г. на базе "Родины", Российской партии жизни и Российской партии пенсионеров была создана новая политическая организация - "Справедливая Россия: Родина/Пенсионеры/Жизнь" (с 2009 г. - "Справедливая Россия", с 2021 г. - "Справедливая Россия - Патриоты - За правду"). Евгений Первышов стал членом новой партии. До 2011 г. возглавлял ее краснодарское региональное отделение. В августе 2011 г. Первышов вместе с руководителем фракции эсеров в краснодарской Гордуме Игорем Коломийцевым объявил о выходе из партии в связи с неприятием политики, проводимой лидером краевого отделения "Справедливой России" Константином Пуликовским.
С ноября 2009 по февраль 2012 г. Евгений Первышов занимал должность директора Института Горкадастрпроект в Краснодаре (занимается вопросами градостроительного и архитектурного проектирования, геодезии, землеустройства и кадастровой деятельности).
В 2010-2012 гг. - депутат Городской думы Краснодара V созыва. 10 октября 2010 г. был избран от партии "Справедливая Россия" по Береговому одномандатному округу №1. Набрал 86,12%. В Гордуме был заместителем председателя комитета по собственности, приватизации, землеустройству, инвестиционной политике, градостроительству и архитектуре. Досрочно сложил депутатские полномочия 19 апреля 2012 г.
С 27 февраля 2012 г. занимал должность заместителя начальника, с 12 апреля 2012 г. – начальника управления муниципального контроля администрации Краснодара.
В 2012-2013 гг. – член партии "Родина".
В 2013 г. перешел в партию "Единая Россия", став членом политсовета, затем секретарем ее краснодарского местного отделения.
В январе - сентябре 2013 г. возглавлял администрацию Прикубанского внутригородского округа Краснодара.
С сентября 2013 г. по ноябрь 2015 г. - заместитель главы Краснодара по вопросам городского хозяйства, топливно-энергетического комплекса и жилищным вопросам.
С ноября 2015 г. по ноябрь 2016 г. - директор департамента разрешительной деятельности и контроля - начальник отдела разрешительной деятельности Министерства строительства и жилищно-коммунального хозяйства РФ.
С 14 ноября 2016 г. - первый заместитель главы Краснодара, исполняющий обязанности главы города.
С 8 декабря 2016 г. по 23 сентября 2021 г. - глава муниципального образования г. Краснодар. Сменил в должности Владимира Евланова.
С 2021 г. - депутат Государственной думы РФ VIII созыва от "Единой России". Был избран 19 сентября 2021 г. по Краснодарскому одномандатному округу №46. Набрал 53,56% голосов (второе место в округе занял кандидат от КПРФ, депутат заксобрания Краснодарского края Иван Жилищиков - 18,61%). Член фракции единороссов. Входит в состав комитета Госдумы по строительству и жилищно-коммунальному хозяйству.
В октябре 2022 г. Евгений Первышов подал заявление для участия в специальной военной операции (СВО) РФ на Украине. Начал службу в подразделении аэроразведки БАРС "Каскад" добровольцем, прошел путь от рядового до командира отряда. Впоследствии продлевал контракт на прохождение службы в зоне СВО.
Награжден орденом Мужества (2023).