Родился 7 августа 1967 г. в Одессе (Украинская ССР, ныне - Украина).
В 1989 г. окончил в Москве Государственный центральный институт физической культуры (ныне - Российский государственный университет физической культуры, спорта, молодежи и туризма).
В 1976 г. начал заниматься фигурным катанием в секции одесского Дворца спорта. Первый тренер - Борис Рублев. Специализировался на спортивных танцах на льду, партнершей стала Елена Крыканова.
В 1982 г. пара переехала в Москву, где занималась под руководством тренера Натальи Дубовой.
В 1984-1986 гг. Евгений Платов вместе с Еленой Крыкановой три раза подряд становился чемпионом мира среди юниоров.
В 1987-1988 гг. партнершей Платова была Лариса Федоринова. В 1988 г. они одержали победу на Мемориале Карла Шефера (Вена, Австрия).
С 1989 г. выступал в паре с Оксаной Грищук. В 1992 г. они победили на чемпионате СССР, в 1993 и 1996 гг. - на чемпионате России. В 1994 г. пара завоевала золотые медали XVII зимних Олимпийских игр (Лиллехаммер, Норвегия), а в 1998 г. первенствовали на XVIII зимней Олимпиаде (Нагано, Япония). Платов и Грищук являются единственными в истории двукратными олимпийскими чемпионами в спортивных танцах на льду.
Четырехкратный чемпион мира (1994-1997).
Трехкратный чемпион Европы (1996-1998).
В 1998 г. Евгений Платов завершил любительскую спортивную карьеру, после чего выступал в профессиональных соревнованиях и ледовых шоу в паре с Майей Усовой. В 1998 г. они стали чемпионами мира среди профессионалов.
В начале 2000-х гг. переехал в США, где приступил к тренерской деятельности.
В 2001-2006 гг. ассистировал работавшим в Соединенных Штатах тренерам Татьяне Тарасовой и Александру Жулину.
В 2002-2006 гг. работал с командой Израиля, был наставником танцевальных пар Галит Хаит - Сергей Сахновский и Александра Зарецкая - Роман Зарецкий.
В 2006-2011 гг. тренировал британскую пару Шинед Керр - Джон Керр. В 2009 и 2011 гг. они становились бронзовыми призерами чемпионата Европы.
В настоящее время Евгений Платов работает тренером и хореографом в ледовом центре в г. Уэст-Палм-Бич (штат Флорида).
В 2006 г. принимал участие в шоу "Танцы на льду" (телеканал "Россия", ныне - "Россия-1"), выступал в паре с актрисой Анной Азаровой.
Заслуженный мастер спорта России (1994).
Награжден орденами Почета (1994) и "За заслуги перед Отечеством" III степени (1998).
Разведен. Был женат на актрисе Марине Аникановой.