Родился 2 апреля 1949 г. в г. Невьянске (Свердловская область) в семье Григория Ивановича и Маргариты Ивановны Плотниковых. Его отец работал слесарем. Мать была инженером-технологом. В начале 1950-х гг. семья переехала в г. Новоуральск (Свердловская область).
В 1970 г. Борис Плотников окончил Свердловское театральное училище (ныне Екатеринбургский государственный театральный институт). Выпускник мастерской педагога Юрия Жигульского. В 1983 г. заочно окончил филологический факультет Уральского государственного университета им. А. М. Горького (в 2011 г. вошел в состав Уральского федерального университета им. первого президента России Б. Н. Ельцина).
В 1969-1978 гг. Борис Плотников был актером Свердловского театра юного зрителя (ныне Екатеринбургский театр юного зрителя). Исполнял роли в спектаклях: "Коварство и любовь" по произведению Фридриха Шиллера, "Вечно живые" по пьесе Виктора Розова, "Три мушкетера" по роману Александра Дюма.
В 1978-1988 гг. служил в Московском академическом театре сатиры. Был занят в спектаклях: "Ремонт" по комедии Михаила Рощина, "Вишневый сад" по пьесе Антона Чехова, "Тени" по произведению Михаила Салтыкова-Щедрина, "Бешеные деньги" по комедии Александра Островского.
В 1988-2002 гг. Борис Плотников входил в труппу Центрального академического театра Российской армии (до 1993 г. - Центральный академический театр Советской армии). Исполнял различные роли в постановках: "Павел I" по исторической драме Дмитрия Мережковского, "Идиот" и "Игрок" по романам Федора Достоевского, "Маскарад" по драме Михаила Лермонтова, "На дне" по пьесе Максима Горького, "Отелло" и "Много шума из ничего" по произведениям Уильяма Шекспира.
С 2002 г. по н. в. - актер Московского художественного театра им. А. П. Чехова. Был задействован в постановках: "Кабала святош" по пьесе Михаила Булгакова, "Чайка" по произведению Антона Чехова, "Копенгаген" по пьесе Майкла Фрейна, "Количество" по произведению Кэрил Черчилл, "Художник, спускающийся по лестнице" по произведению Тома Стоппарда, "Женщина с моря" по пьесе Генрика Ибсена. Участвует в спектакле текущего репертуара "Женитьба" по комедии Николая Гоголя.
На протяжении карьеры также сотрудничал с Московским театром Олега Табакова и столичным театром "Et Cetera".
Борис Плотников был широко известен в качестве киноактера. Зрительское признание ему принесла дебютная роль - Сотников в драме Ларисы Шепитько "Восхождение" (1976). Среди других работ: студент-юрист в телефильме "Невероятное пари" по мотивам произведений Антона Чехова (1984, режиссер Владимир Мотыль), сын Копалыча в драме "Холодное лето пятьдесят третьего..." (1987, Александр Прошкин), доктор Иван Борменталь в экранизации повести Михаила Булгакова "Собачье сердце" (1988, Владимир Бортко). Последняя роль к настоящему времени - патриарх Иов в историческом телесериале "Годунов. Продолжение" (2019, Тимур Алпатов). В общей сложности Борис Плотников снялся в более чем 50 фильмах и сериалах. Также он принимал участие в озвучивании ряда мультипликационных и документальных фильмов.
Борис Плотников выступал с чтецкими программами на радио и телевидении, записал несколько аудиокниг ("Юнкера" Александра Куприна, "Ханский огонь" Михаила Булгакова, "Записки из мертвого дома" Федора Достоевского).
Был профессором Российского института театрального искусства - ГИТИС, руководил актерской мастерской.
Являлся членом Союза кинематографистов РФ.
Борис Плотников скончался 2 декабря 2020 г. на 72-м году жизни. Похоронен на Троекуровском кладбище.
Народный артист РФ (2008).
Был награжден орденом Почета (2005), отмечен Почетной грамотой президента РФ (2016).
Лауреат премии правительства Москвы в области литературы и искусства (2004).
Почетный гражданин Невьянского городского округа (Свердловская область, 2011).
В 2004 г. Борис Плотников в соавторстве с кандидатом искусствоведения Еленой Юсим выпустил книгу "Моя надежда, мука и награда...".