Родился 18 апреля 1956 г. в Москве.
В 1979 г. с отличием окончил факультет самолетостроения Московского ордена Ленина авиационного института им. Серго Орджоникидзе (ныне Московский авиационный институт - национальный исследовательский университет, МАИ).
Доктор технических наук (2002, тема диссертации - "Разработка и реализация перспективных технологий для создания авиационных комплексов новых поколений"), академик Российской академии наук (2011).
После окончания МАИ работал на Московском машиностроительном заводе им. П. О. Сухого (с 1992 г. - "Опытно-конструкторское бюро имени Сухого", "ОКБ Сухого", ныне ПАО "Компания "Сухой" в составе "Объединенной авиастроительной корпорации" госкорпорации Ростех). Занимал должности инженера, инженера-конструктора, ведущего конструктора, начальника бригады, начальника отдела (1992), заместителя главного конструктора, главного конструктора, заместителя генерального конструктора и первого заместителя генерального конструктора (1992-1998). В 1980-х - начале 1990-х гг. руководил проектом разработки сверхзвукового самолета бизнес- или "административного" класса "Сухой С-21" (Super Sonic Business Jet, "Супер соник бизнес джет", не реализован).
В 1995 - 1999 гг. - председатель совета директоров ОАО "ОКБ Сухого". Участвовал в доработке и модернизации многоцелевых истребителей Су-27 и Су-30, истребителя-бомбардировщика Су-32, палубного истребителя Су-33. Главный конструктор перспективного истребителя с крылом обратной стреловидности Су-47 "Беркут".
В 1998 г. - первый заместитель генерального конструктора "ОКБ Сухого", с апреля 1998 г. - генеральный директор ГУП "Авиационный военно-промышленный комплекс "Сухой" (ныне ПАО "Компания "Сухой").
С мая 1999 г. по август 2007 г. - генеральный директор "ОКБ Сухого".
В апреле 2002 г. под руководством Погосяна холдинг "Сухой" приступил к работе над перспективным авиационным комплексом фронтовой авиации (ПАК ФА), впоследствии получившим индекс Т-50 (первый полет - 29 января 2010 г., серийно производится с 2020 г. как Су-57); в марте 2003 г. "ОКБ Сухого" выиграло конкурс на создание пассажирского регионального лайнера Russian Regional Jet ("Рашн реджионал джет"), позднее переименованного в Superjet 100 ("Суперджет-100", SSJ-100; первый полет - 19 мая 2008 г.).
С 2004 г. по н. в. Михаил Погосян возглавляет кафедру 101 ("Проектирование самолетов") в МАИ.
30 июля 2007 г. покинул пост генерального директора "ОКБ Сухого", оставшись во главе "Холдинговой компании "Сухой".
В 2007 - 2011 гг. занимал пост первого вице-президента "Объединенной авиастроительной корпорации" (ОАК), объединяющей основные самолетостроительные компании России.
В 2009-2011 гг. - генеральный директор ОАО "Российская самолетостроительная корпорация "МиГ" (сохранял за собой пост гендиректора "Сухого").
В феврале 2011 г. президент РФ Дмитрий Медведев назначил Михаила Погосяна исполняющим обязанности президента ОАК, в том же месяце совет директоров ОАК избрал его президентом корпорации сроком на 5 лет, до февраля 2016 г.
В июне 2011 г. был избран председателем совета директоров ОАО "Компания "Сухой", в связи с чем покинул пост ее генерального директора.
16 января 2015 г. совет директоров ОАК досрочно прекратил полномочия Михаила Погосяна на посту президента корпорации, оставив за ним пост генерального конструктора. В августе 2015 г. Погосян покинул и эту должность, став советником генерального директора ОАК Юрия Слюсаря.
В 2011-2015 гг. был председателем совета директоров ОАО "Корпорация "Иркут", членом совета директоров ОАО "Роснано", наблюдательного совета некоммерческого партнерства "Союз авиапроизводителей".
16 июня 2016 г. Михаил Погосян был избран ректором Московского авиационного института (национального исследовательского университета). Под его руководством осенью 2018 г. МАИ впервые вошел в "Рейтинг университетов мира" (THE World University Ranking), который составляет британский журнал Times Higher Education.
Указом президента РФ от 20 марта 2017 г. Погосян был включен в состав Общественной палаты РФ (в последний раз утверждался ее членом указом от 6 апреля 2023 г.). В 2017-2020 гг. - председатель комиссии по развитию образования и науки, с 2020 г. по н. в. - председатель комиссии по развитию высшего образования и науки ОП РФ (переизбран 20 июня 2023 г.).
Входил в Совета при президенте РФ по науке и образованию (2015-2020).
Михаил Погосян награжден орденами Почета (2002) и Александра Невского (2020), медалью П. А. Столыпина II степени (2016). Отмечен Почетной грамотой правительства РФ (2006, "за заслуги в создании новых образцов авиационной техники военного и гражданского назначения и многолетний плодотворный труд").
Лауреат Государственной премии РФ в области литературы и искусства (1997, за дизайнерскую и эргономическую разработку семейства самолетов Су-27), а также премии правительства РФ (1998).
Почетный профессор Казанского государственного технического университета имени А. Н. Туполева (2010).
Автор ряда патентов и изобретений, более 80 научных публикаций.