Родился 21 ноября 1930 г. в Минске (Белорусская ССР, ныне Республика Белоруссия) в семье врачей.
Медицинское образование начал получать в Воронежском медицинском институте, где заведовал кафедрой акушерства и гинекологии его отец. Затем Анатолий Покровский перевелся во 2-й Московский государственный медицинский институт (ныне Российский национальный исследовательский медицинский университет им. Н. И. Пирогова, неофиц. "Второй мед"), который окончил в 1954 г.
Доктор медицинских наук. В 1958 г. защитил кандидатскую диссертацию на тему "К вопросу о внутригрудной анестезии при операциях на сердце", в 1967 г. – докторскую диссертацию (тема: "Хирургическое лечение коарктации аорты"). Профессор (1968).
В 1982 г. был избран членом-корреспондентом Академии медицинских наук СССР (впоследствии Российская академия медицинских наук, РАМН), в 1997 г. - академиком РАМН. С 2013 г. был действительным членом Российской академии наук (РАН), членом Отделения медицинских наук (секция клинической медицины).
В 1957-1959 гг. Анатолий Покровский работал ассистентом кафедры тропической анатомии "Второго меда".
В 1959 г. начал работу в новом Институте грудной хирургии Академии медицинских наук (АМН) СССР, который в 1961 г. был преобразован в Институт сердечно-сосудистой хирургии (ИССХ, ныне Национальный медицинский исследовательский центр сердечно-сосудистой хирургии им. А. Н. Бакулева).
В 1964-1983 гг. возглавлял отделение магистральных сосудов ИССХ. В институте Анатолий Покровский впервые в СССР провел сложные сосудистые операции: резекцию аневризмы восходящей аорты с протезированием (1962), резекцию постинфарктной аневризмы левого желудочка с аортокоронарным шунтированием (1970), резекцию аневризмы дуги аорты с протезированием дуги и всех ее ветвей (1972).
В 1983-2019 гг. заведовал отделением хирургии сосудов Института хирургии им. А. В. Вишневского (ныне Национальный медицинский исследовательский центр хирургии им. А. В. Вишневского). Впоследствии был советником заведующего этим отделением.
Кроме того, в 1986-2019 гг. Анатолий Покровский занимал должность заведующего кафедрой клинической ангиологии и сосудистой хирургии Центрального института усовершенствования врачей (ныне Российская медицинская академия непрерывного профессионального образования).
В 1994-2019 гг. был президентом, с 2019 г. - почетным президентом Российского общества ангиологов и сосудистых хирургов.
В 1994 г. создал научный журнал "Ангиология и сосудистая хирургия", где занимал пост главного редактора.
Скончался 2 июня 2022 г. в Москве на 92 году жизни.
Анатолий Покровский был основателем современной российской школы сосудистой хирургии. Под его руководством началось становление реконструктивного направления в хирургии сосудов. Он одним из первых начал разрабатывать хирургическое лечение при ишемических болезнях сердца. Международное признание получили его исследования окклюзирующих поражений висцеральных артерий брюшной аорты, хирургического лечения аневризм брюшного отдела аорты, неспецифического аортоартериита, вопросов флебологии.
Являлся автором более 700 научных работ и 16 монографий. Среди его трудов: "Заболевания аорты и ее ветвей" (1979), двухтомное руководство "Клиническая ангиология" (2004) и др.
Был награжден орденом "За заслуги перед Отечеством" II (2020), III (2005) и IV (2000) степеней.
Лауреат Государственных премий СССР (1975) и РФ (2002), премии правительства РФ в области науки и техники (2004).