Родился 23 января 1912 г. (10 января 1912 г. по старому стилю) в Москве. Его отец - Александр Александрович Покровский - служил инспектором частного реального училища, после революции работал учителем, директором единой трудовой школы. Мать - Елизавета Тимофеевна - происходила из купеческого сословия, занималась домашним хозяйством.
В детстве и юности Борис Покровский обучался игре на фортепиано в музыкальной школе сестер Гнесиных, затем в театрально-музыкальном училище им. А. К. Глазунова. Был занят в небольших ролях в спектаклях Московского рабочего художественного театра.
Окончил семилетнюю общеобразовательную школу. В 1929 г. по направлению биржи труда поступил в школу фабрично-заводского ученичества при Государственном тресте анилино-красочной промышленности. В 1930 г. стал аппаратчиком пятого разряда на Дорогомиловском химическом заводе им. М. В. Фрунзе. Как рабочий химического предприятия был принят без экзаменов в Московский химико-технологический институт им. Д. Менделеева, однако после первых же занятий оставил учебу в вузе.
В 1933 г. Борис Покровский поступил без конкурса в Центральный техникум театрального искусства, представив приемной комиссии свой режиссерский план оперы "Золотой петушок" по сказке А. С. Пушкина. Позднее группа, в которой учился Покровский, была расформирована. Сам он вместе с другими студентами техникума был принят на первый курс нового режиссерского факультета Государственного института театрального искусства - ГИТИСа. Его сокурсником стал Георгий Товстоногов, будущий известный театральный режиссер.
Занятия в ГИТИСе вели Юрий Завадский, Алексей Попов и др., однако сам Борис Покровский говорил, что никого не мог бы назвать своим педагогом. По его словам, "режиссерскому мастерству в высоком смысле" он учился у Федора Шаляпина и Константина Станиславского.
В 1937 г. Борис Покровский был направлен в г. Горький (ныне Нижний Новгород), в недавно созданный Горьковский театр оперы и балета (Нижегородский театр оперы и балета имени А. С. Пушкина). На его сцене прошла премьера и защита дипломного спектакля молодого режиссера - оперы "Кармен" Жоржа Бизе. Борис Покровский был принят в штат театра.
В 1938 г. он окончил ГИТИС, в 1939 г. защитил диплом.
В 1938-1943 гг. - режиссер (одновременно с 1939 г. - художественный руководитель) Горьковского театра оперы и балета им. А. С. Пушкина. Поставил на его сцене более десяти опер и оперетт, включая "Иоланту" и "Чародейку" Петра Чайковского, "Нижегородцев" Эдуарда Направника, "Ивана Сусанина" Михаила Глинки, "Холопку" Николая Стрельникова, "Скупого рыцаря" Сергея Рахманинова и др. Один из спектаклей - опера Александра Серова "Юдифь" - был выдвинут на соискание государственной премии.
Начало Великой Отечественной войны застала Бориса Покровского в Иванове, где он находился с театром на гастролях. Решил отправиться добровольцем на фронт, однако по ходатайству дирекции Горьковского театра был освобожден от службы в армии.
В 1943 г. Бориса Покровского вызвали в Москву, в Государственный академический Большой театр. Он проработал в нем 39 лет. В 1952, 1955-1963 и 1970-1982 гг. был главным режиссером театра. Позднее, в 1988-2001 гг., работал в нем по контракту.
Борис Покровский поставил в Большом театре свыше 40 спектаклей, большая часть которых вошла в золотой фонд мирового оперного искусства. В их числе "Евгений Онегин" (первая постановка состоялась в 1944 г.) и "Орлеанская дева" (1990) Петра Чайковского, "Франческа да Римини" Сергея Рахманинова (первая постановка - 1946 г.) , "Вражья сила" Александра Серова (1947), "Проданная невеста" Бедржиха Сметаны (1948), "Садко" (1949) и "Млада" (1988) Николая Римского-Корсакова, "Аида" (1951) и "Травиата" (1953) Джузеппе Верди, "Тоска" Джакомо Пуччини (1971), "Игрок" Сергея Прокофьева (первая постановка в 1974 г.), "Отелло" Джузеппе Верди (1978), "Князь Игорь" Александра Бородина (1993), "Хованщина" Модеста Мусоргского (1995) и др. Спектакли "Вражья сила" и "Садко" были удостоены Сталинской премии первой степени (1948 и 1950 гг. соответственно), "Проданная невеста" - Сталинской премии второй степени (1949).
В 1946 г. в Ленинградском Малом театре оперы и балета (ныне Михайловский театр) состоялась премьера первой части оперы Сергея Прокофьева "Война и мир" в постановке Бориса Покровского. По просьбе режиссера Прокофьев специально написал для спектакля вальс Наташи Ростовой. "Война и мир" в постановке Покровского была удостоена Сталинской премии первой степени (1947). В 1959 г. уже полная версия оперы вышла на сцене Государственного Большого театра.
В ноябре 1947 г. в Большом театре режиссер поставил оперу Вано Мурадели "Великая дружба". Первые спектакли прошли успешно. Но после того, как в феврале 1948 г. театр посетили члены советского руководства во главе с Иосифом Сталиным, опера была снята с репертуара как "порочное антихудожественное произведение", искажающее тему "дружбы народов на Северном Кавказе". 10 февраля политбюро ЦК ВКП(б) приняло специальное постановление об опере Мурадели, которое положило начало борьбе с "формализмом". Однако начавшиеся репрессии в отношении деятелей советского искусства режиссера не коснулись.
Покровский ставил спектакли на сценах Ленинградского театра оперы и балета имени Кирова (ныне Мариинский театр), Московского музыкального театра им. К. С. Станиславского и В. И. Немировича-Данченко, а также в театрах Минска, Тбилиси, Вильнюса, Таллина. Он был первым постановщиком опер Сергея Прокофьева "Война и мир" в Софии (1957) и "Огненный ангел" в Праге (1981). Сотрудничал с театрами Лейпцига, Берлина, Вены, Вероны. В 1992 г. в Амстердаме прошла мировая премьера оперы Альфреда Шнитке "Жизнь с идиотом" в постановке Бориса Покровского.
Параллельно с работой в театре режиссер с 1949 г. занимался преподавательской деятельностью в ГИТИСе. С 1954 г. - профессор, с 1959 г. - заведующий кафедрой, художественный руководитель курсов режиссеров музыкального театра и актеров музыкальной комедии.
В 1972-2009 гг. - художественный руководитель и режиссер основанного им Московского камерного музыкального театра.
В течение нескольких лет Борис Покровский совмещал работу в Большом и Камерном театрах. В 1982 г. он покинул Большой. Причиной послужило несогласие режиссера с просьбой ведущих артистов отказаться от традиции исполнять репертуар исключительно на русском языке и перейти в спектаклях на язык оригинала. Впоследствии сам Покровский признал, что совершил ошибку, считая, что оперные партии должны звучать только на русском.
После ухода из Большого театра режиссер сосредоточился на работе в Камерном театре, чья сцена позволила ему воплотить свои новаторские замыслы. При этом сам Покровский называл себя "консерватором", считая что "оперные театры обязаны все время стремиться к новаторству в смысле репертуара, но не в смысле показа режиссером".
Основу репертуара Камерного театра составили редкие и малоизвестные произведения, здесь же впервые прозвучали оперы современных композиторов. Среди них "Не только любовь" Родиона Щедрина (1972), "Нос" Дмитрия Шостаковича (1974), "Похождения повесы" Игоря Стравинского (1978), "Братья Карамазовы" Александра Холминова (1985), "Дон Жуан, или Наказанный развратник" Вольфганга Моцарта (1987), "Сначала музыка, а потом слова" Антонио Сальери (1992), "Жизнь с идиотом" Альфреда Шнитке (1993), "Коронация Поппеи" Клаудио Монтеверди (1998), "Сорочинская ярмарка" Модеста Мусоргского (2000), "Юлий Цезарь и Клеопатра" Георга Генделя (2002), "Волшебная флейта" Вольфганга Моцарта (2004) и др. В 1982 г. прошла премьера "Ростовского действа", оперы, написанной в XVII веке митрополитом Димитрием Ростовским. Всего режиссер поставил на сцене Камерного театра 75 произведений.
В 1996 г. театру было присвоено звание академического. В 2009 г., после смерти Бориса Покровского, он получил имя своего основателя. С 2018 г. Камерный театр входит в состав Государственного академического Большого театра в качестве Камерной сцены им. Б. А. Покровского.
Всего Борис Покровский поставил свыше 180 спектаклей. В его постановках участвовали такие выдающиеся исполнители, как Ирина Архипова, Галина Вишневская, Елена Образцова, Владимир Атлантов, Зураб Соткилава, Владислав Пьявко, Тамара Синявская, Бэла Руденко и др. Композитор и дирижер Евгений Светланов считал, что имя режиссера достойно занесения в Книгу рекордов Гиннесса "за безмерное трудолюбие, за великий талант, за верность истинному искусству".
Борис Покровский скончался 5 июня 2009 г. на 98-м году жизни в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.
Был народным депутатом СССР (1989-1991).
Почетный президент Международного института театра (1986).
Удостоен званий заслуженного деятеля искусств РСФСР (1955), народного артиста РСФСР (1957) и СССР (1961).
Награжден двумя орденами Ленина (1967, 1976) и Трудового Красного Знамени (1972, 1982), орденами "Знак Почета", "За заслуги перед Отечеством" I, II, III степеней (2007, 2002, 1997) и др.
Лауреат четырех Сталинских премий (1947, 1948, 1949, 1950), Ленинской премии (1980), двух Государственных премий РФ (1995, 2004), театральной премии "Золотая маска" (1996, 2004), премии "Триумф" (2008) и др.
Автор книг "Об оперной режиссуре" (1973), "Размышления об опере (1979), "Беседы об опере" (1981), "Ступени профессии" (1984), "Введение в оперную режиссуру" (1985), "Что, для чего и как?" (2003) и др.
О Борисе Покровском сняты документальные фильмы "Режиссер читает партитуру. Борис Покровский" (1969), "Наш любимый юный дед (1992), "Парадокс Покровского" (1993) и др. Сам он являлся режиссером фильма-спектакля "Граф Калиостро" на музыку Микаэла Таривердиева (1987; совм. с Юрием Богатыренко).
Первой супругой Бориса Покровского была Анна Алексеевна Некрасова (1913-2003), режиссер Центрального детского театра (ныне Российский академический молодежный театр). Вторым браком он был женат на оперной певице Ирине Ивановне Масленниковой (1918-2013). Дочь - Алла Покровская (1937-2019), актриса, театральный режиссер, народная артистка РСФСР, сын - Александр Покровский (род. 1944), пианист, концертмейстер Московской консерватории. Падчерица Бориса Покровского - Мария Сергеевна Лемешева (род. 1944), оперная певица, народная артистка РФ, дочь Ирины Масленниковой и Сергея Лемешева. Внук - артист театра и кино Михаил Ефремов.
В 2012 г. в честь 100-летия Бориса Покровского в Москве был организован фестиваль "Год Покровского". В его рамках прошли лучшие постановки режиссера, концерты, чтения отрывков из его книг, в Бахрушинском музее была организована выставка "Восхождение к опере". На Камерной сцене им. Б. А. Покровского (ул. Никольская, 17/1) был открыт мемориальный кабинет ее основателя.