Родился 10 марта 1987 г. в пос. Котчиха Омутнинского района Кировской области РСФСР (ныне Кировская область РФ). Вскоре вместе с семьей переехал в Молдавию.
В 2009 г. окончил факультет международных отношений Молдавского государственного университета (Кишинев). Во время учебы, в 2007-2008 гг., по гранту от Европейской комиссии обучался в Ближневосточном техническом университете (Анкара, Турция).
Получив стипендию магистратуры Евросоюза, в 2014-2015 гг. Михаил Попшой изучал государственную политику в Центрально-Европейском университете (Будапешт, Венгрия), финансируемом структурами, подконтрольными американскому миллиардеру Джорджу Соросу (в 2023 г. деятельность университета, который с 2019 г. располагается в Австрии, признана нежелательной на территории РФ). В 2015-2016 гг. учился в Йоркском университете (Великобритания).
Доктор политических наук. В 2022 г. в Миланском государственном университете (Италия) защитил диссертацию на тему "Европеизация против демократизации в Грузии, Молдове и Украине. Внутренние и внешние вызовы демократической консолидации".
В 2009-2010 гг. работал менеджером проекта в Центре информации и документации НАТО в Молдавии, в 2010-2014 гг. - политическим аналитиком политико-экономического отдела посольства США в Кишиневе.
В 2014-2018 гг. был консультантом в области внешней политики и политической безопасности, сотрудничал с Джеймстаунским фондом, Американским институтом предпринимательства, Фондом "Открытое общество" (Фонд Сороса; в 2015 г. включен в список нежелательных в России НКО), Ассоциацией внешний политики Республики Молдовы и др.
В 2017 г. Михаил Попшой занялся политической деятельностью. 10 сентября 2017 г. на внеочередном съезде проевропейской Партии действия и солидарности (ПДС), возглавляемой в то время нынешним президентом Молдавии Майей Санду, он был избран вице-председателем партии (курировал международные отношения).
24 февраля 2019 г. прошел в парламент от избирательного блока Acum ("Сейчас"), созданного ПДС и "Платформой "Достоинство и правда", по одномандатному округу №32, включавшему в себя ряд пригородов Кишинева. На выборах набрал 37,03% голосов избирателей. Одновременно баллотировался под №8 по списку блока Acum. Блок занял третье место после социалистов и демократов, получив в парламенте 26 мандатов из 101.
11 июля 2021 г. на внеочередных парламентских выборах был избран депутатом от Партии действия и солидарности (№3 в партийном списке). ПДС получила 63 мандата из 101, что позволило ей самостоятельно формировать правительство. В парламенте Михаил Попшой возглавил фракцию ПДС, вошел в состав комиссии по внешней политике и европейской интеграции. Член нескольких парламентских делегаций, в том числе в Парламентской ассамблее Совета Европы, Парламентской ассамблее Евронест и в Комитете парламентской ассоциации ЕС - Молдавия.
С 8 июня 2019 г. - вице-председатель молдавского парламента (был переизбран 29 июля 2021 г.).
24 января 2024 г. вице-премьер-министр, министр иностранных дел и европейской интеграции Молдавии Николай Попеску заявил о том, что подает в отставку. В тот же день премьер-министр Молдавии Дорин Речан сообщил, что новым министром иностранных дел будет назначен Михаил Попшой.
С 29 января 2024 г. - вице-премьер-министр, министр иностранных дел и европейской интеграции, с 1 февраля 2024 г. - вице-премьер-министр, министр иностранных дел Республики Молдова.
В 2014-2019 гг. являлся членом Ассоциации внешней политики Республики Молдова.
Владеет английским, русским и украинским языками.
Женат, имеет сына.