Родился 23 февраля 1963 г. в г. Москве.
В 1986 г. окончил Московское высшее техническое училище им. Н.Э. Баумана (с 1989 г. - Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана) по специальности "оптико-электронные приборы" (квалификация - инженер-механик).
Кандидат экономических наук. Диссертацию на тему "Стратегическое управление интегрированными промышленными комплексами" защитил в 2004 г. в Санкт-Петербургском государственном университете экономики и финансов.
В 1986-1991 гг. работал инженером в Московском институте теплотехники, затем – на других предприятиях Москвы.
В 1992-1998 гг. занимал различные должности в коммерческих структурах. В 1994 г. был председателем совета директоров РАТО-банка, в этом качестве входил в состав Совета по промышленной политике и предпринимательству при правительстве РФ.
С 1998 г. был советником, затем заместителем директора Федерального долгового центра при правительстве РФ (руководитель - Александр Яковлев).
С 2001 г. - советник исполнительного директора негосударственного долгового центра "Родник" (Москва).
С 29 марта 2002 г. по 27 мая 2004 г. занимал должность заместителя генерального директора Российского агентства по обычным вооружениям Александра Ноздравчева.
В 2004-2008 гг. возглавлял управление промышленности обычных вооружений Федерального агентства по промышленности (Роспром).
С 18 июля 2008 г. по 3 октября 2012 г. - директор департамента промышленности обычных вооружений, боеприпасов и спецхимии Минпромторга России.
Входил в состав совета директоров ОАО "Научно-производственная корпорация "Уралвагонзавод" им. Ф.Э. Дзержинского" (ОАО "НПК "Уралвагонзавод", ныне - АО), ОАО "Научно-производственное объединение "Электромашина", ОАО "Научно-производственное объединение "Ижмаш", ФГУП "Федеральный научно-производственный центр "Алтай".
С 3 октября 2012 г. по 7 июля 2014 г. - директор Федеральной службы по оборонному заказу (Рособоронзаказ).
С 7 июля 2014 г. по 1 марта 2017 г. - заместитель министра промышленности и торговли РФ Дениса Мантурова. Курировал финансирование заданий государственного оборонного заказа, деятельность военно-промышленного комплекса.
2 марта 2017 г. глава "Ростеха" Сергей Чемезов сообщил, что Александр Потапов назначен генеральным директором "Уралвагонзавода".
Задекларированный доход в 2015 г. - 4 млн 493 тыс. руб., супруги - 2 млн 966 тыс. руб.
Действительный государственный советник РФ 1-го класса (2013).
Награжден орденом Почета (2008).
Почетный работник промышленности обычных вооружений. Почетный машиностроитель.
Лауреат премии правительства РФ в области науки и техники за 2006 г. ("За разработку и внедрение эффективного высокотехнологического оборудования для капитального ремонта и обслуживания нефтяных и газовых скважин глубиной до 6000 м").
Женат, имеет дочь.