Родился 25 марта 1940 г. в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург). Его отец - Анатолий Николаевич (1907-1986) - был художником. Мать - Анна Ефимовна (1909-1972) - имела образование переводчика.
После начала Великой Отечественной войны Александр Прошкин вместе с матерью был эвакуирован в г. Ленинск-Кузнецкий (ныне на территории Кемеровской области). В 1945 г. они вернулись в Ленинград.
В 1961 г. Александр Прошкин окончил актерский факультет Ленинградского театрального института им. А. Н. Островского (выпускник курса заслуженного артиста РСФСР Бориса Зона), в 1968 г. - Высшие режиссерские курсы при Гостелерадио СССР (Москва).
В 1961-1966 гг. был актером Ленинградского театра комедии (ныне - Санкт-Петербургский театр комедии им. Н. П. Акимова).
В 1968-1978 гг. Александр Прошкин работал режиссером в главной редакции литературно-драматических программ Центрального телевидения Гостелерадио СССР. В течение этих лет поставил ряд телеспектаклей, а также один из первых советских сериалов - восьмисерийную драму "Ольга Сергеевна" по сценарию Эдварда Радзинского (1975).
С 1978 по 1986 г. - режиссер творческого объединения "Экран". Снял телефильмы: "Стратегия риска" (1978), "Инспектор Гулл" по мотивам пьесы Джона Бойнтона Пристли "Он пришел" (1979), "Частное лицо" (1980), "Опасный возраст" (1981).
С 1986 г. Александр Прошкин работал на киностудии "Мосфильм". Широкую известность ему принес девятисерийный историко-биографический фильм "Михайло Ломоносов" (телепремьера состоялась в ноябре 1986 г.). В 1988 г. на экраны вышла драма Прошкина "Холодное лето пятьдесят третьего...". В 1989 г. она была отмечена премией "Ника" в номинации "Лучший игровой фильм", а также призами международных кинофестивалей в Хихоне (Испания) и Валансьене (Франция).
Среди других работ режиссера: фильмы "Увидеть Париж и умереть" (1992), "Русский бунт" (1999), "Трио" (2003), "Живи и помни" по повести Валентина Распутина (2008), "Чудо" (2009), "Искупление" по произведению Фридриха Горенштейна (2012), "Райские кущи" по мотивам пьесы Александра Вампилова "Утиная охота" (2015), а также сериал "Доктор Живаго" по роману Бориса Пастернака (2006; в 2007 г. удостоен кинопремии "Золотой орел" в категории "Лучший телевизионный сериал"). В 2020 г. состоялась премьера его драмы "Назад в степь к сарматам".
В 2018-2020 гг. Александр Прошкин преподавал в Московском государственном институте культуры на кафедре теле-, кино- и фотоискусств. Был профессором вуза.
Также руководил режиссерской мастерской на Высших курсах кино и телевидения Всероссийского государственного университета кинематографии им. С. А. Герасимова.
Соучредитель ООО "Амкарт" (работает в сфере кинопроизводства).
Член Союза кинематографистов РФ, Российской академии кинематографических искусств, Национальной академии кинематографических искусств и наук России, Академии российского телевидения.
Заслуженный деятель искусств РСФСР (1987). Народный артист РФ (1995).
Награжден орденом "За заслуги перед Отечеством" III и IV степеней (2017, 2000).
Лауреат Государственной премии СССР в области литературы, искусства и архитектуры (1989, за фильм "Холодное лето пятьдесят третьего...").
Александр Прошкин отмечен призом кинофестиваля "Кинотавр" в категории "Лучшая режиссура" (2008, "Живи и помни").
Сын - режиссер Андрей Прошкин (род. 1969). Поставил фильмы "Спартак и Калашников" (2002), "Солдатский декамерон" (2005), "Орда" (2012) и др.