Родился 5 мая 1957 г. в с. Схлит Знаурского района Юго-Осетинской автономной области (ныне – Республика Южная Осетия).
В 1982 г. окончил физико-математический факультет Юго-Осетинского государственного педагогического института (ныне – Юго-Осетинский государственный университет имени А.А. Тибилова) по специальности "математика и физика".
В 1974-1976 гг. – рабочий на Цхинвальском консервном заводе.
В 1976-1978 гг. служил в Вооруженных силах СССР в г. Семипалатинске Казахской ССР.
В 1982-1991 гг. был лаборантом кафедры физики, преподавателем, с 1991 г. - старшим преподавателем кафедры математики Юго-Осетинского государственного педагогического института.
С 2005 г. по 2014 г. занимал должность начальника Управления государственной статистики Южной Осетии.
29 апреля 2014 г. был назначен заместителем председателя правительства Республики Южная Осетия Доменти Кулумбегова. Курировал культурную сферу.
В 2017-2020 гг. - премьер-министр республики Южная Осетия.
16 мая 2017 г. парламент Южной Осетии единогласно утвердил кандидатуру Эрика Пухаева, предложенную президентом Анатолием Бибиловым на должность премьер-министра республики. 29 августа 2020 г. Пухаев и возглавляемый им кабмин были отправлены в отставку указом президента. Эрик Пухаев подал прошение об отставке после того, как 28 августа в Цхинвале начались массовые протесты, вызванные сообщением о смерти местного жителя Инала Джабиева, который был задержан по подозрению в покушении на главу МВД республики Игоря Наниева. Жители потребовали отставки правительства. На следующий день президент удовлетворил прошение Пухаева.
За большой личный вклад в становление и развитие государственной статистики Республики Южная Осетия награжден орденом Дружбы (2013).
Женат, имеет трех дочерей.