Родился 18 января 1915 г. (по старому стилю 5 января 1915 г.) в Петрограде (ныне Санкт-Петербург). Отец - Виктор Яковлевич Раушенбах (1870-1930), происходил из немцев Поволжья (Саратовская губерния), после революции работал техническим руководителем кожевенного производства на ленинградской фабрике "Скороход". Мать - Леонтина Федоровна Раушенбах (Халлик; 1886-1951), происходила из эстонских немцев, работала преподавателем немецкого языка.
В 1938 г. окончил механический факультет Ленинградского института инженеров гражданского воздушного флота (ныне - Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации) по специальности "техническая эксплуатация самолетов и моторов" (квалификация - инженер-механик).
Доктор технических наук (1958), академик Академии наук СССР (1984; ныне Российская академия наук, РАН).
После окончания средней школы, с 1931 г. работал столяром-сборщиком на авиационном заводе № 23 в Ленинграде.
Во время учебы в вузе увлекся конструированием планеров, участвовал в их испытаниях в Коктебеле (Крым), где познакомился с Сергеем Королевым (впоследствии конструктор ракетно-космических систем, академик АН СССР).
В 1937 г., за полтора года до окончания института, переехал в Москву и устроился инженером в Реактивный научно-исследовательский институт (РНИИ; затем - НИИ-3 Наркомата боеприпасов СССР, НИИ-1 Министерства авиационной промышленности СССР, НИИ тепловых процессов; ныне Исследовательский центр им. М.В. Келдыша). Занимался проблемами устойчивости полета крылатых ракет в отделе Сергея Королева. Работая в РНИИ, в 1938 г. защитил диплом. После ареста Королева в 1938 г. работы над жидкостными ракетами были свернуты. Раушенбах по собственной инициативе продолжил заниматься теорией горения в воздушно-реактивных двигателях.
Во время Великой Отечественной войны, осенью 1941 г. НИИ-3 был эвакуирован в Свердловск (ныне Екатеринбург), где Борис Раушенбах занимался расчетами полета самонаводящегося зенитного снаряда.
В марте 1942 г. из-за немецкого происхождения был репрессирован и сослан в трудовой лагерь в Нижний Тагил (Свердловская область) - Тагиллаг Народного комиссариата внутренних дел СССР (НКВД; ныне Федеральная служба безопасности РФ). Работал на кирпичном заводе. В первый год ссылки завершил начатые в НИИ-3 расчеты и направил их в институт. Его труд был замечен авиаконструктором Виктором Болховитиновым, который возглавлял московский завод № 293 Наркомата авиационной промышленности СССР, в то время находящийся в эвакуации в Свердловской области. Болховитинов добился от НКВД разрешения на привлечение Раушенбаха к научным работам на заводе (в трудовой книжке Раушенбаха имелась запись, что в 1942-1946 гг. он был старшим инженером завода № 293).
В январе 1946 г. Борис Раушенбах был выпущен из мест заключения, но оставлен в Нижнем Тагиле на положении спецпереселенца под надзором НКВД.
Возвратился в Москву в 1948 г. при содействии руководителя НИИ-1 Мстислава Келдыша. Работал в его институте начальником отдела (до 1960 г.).
Одновременно, с 1948 г. преподавал на физико-техническом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (в 1951 г. на базе факультета был образован Московский физико-технический институт, МФТИ). В 1959 г. стал профессором МФТИ.
В середине 1950-х гг. начал заниматься теорией управления космическими аппаратами. В 1954 г. при поддержке Келдыша возглавил в НИИ-1 группу по разработке системы стабилизации и ориентации искусственных спутников Земли.
В 1955 г. вместе со своей группой был направлен в ОКБ-1 (почтовый ящик 651; впоследствии Центральное конструкторское бюро экспериментального машиностроения, ЦКБЭМ; НПО "Энергия"; ныне Ракетно-космическая корпорация "Энергия" им. С.П. Королева; Королев, Московская область), которым руководил Сергей Королев. Здесь под руководством Раушенбаха была создана первая автономная система ориентации космических аппаратов, впоследствии получившая название "Чайка". В 1959 г. автоматическая межпланетная станция (АМС) "Луна-3", оснащенная этой системой, облетела Луну и сделала первые фотографии ее обратной стороны. За это Борис Раушенбах в 1960 г. был удостоен Ленинской премии.
С 1959 г. - член Коммунистической партии Советского Союза.
В 1961-1966 гг. занимал должность начальника отдела ОКБ-1, в 1966-1974 гг. - начальник отдела ЦКБЭМ, в 1974-1978 гг. - научный руководитель тематического направления НПО "Энергия". Под его руководством были разработаны системы ориентации и коррекции полета АМС "Марс" (первый запуск в 1960 г.), "Венера" (1961) и спутников связи "Молния" (1964), "Горизонт" (1978), автоматического и ручного управления кораблями "Восток" (1961; полет первого космонавта планеты Юрия Гагарина), "Восход" (1964), "Союз" (1967), орбитальными станциями "Салют" (1971).
С 1978 г. и до конца своей жизни преподавал в МФТИ, заведовал кафедрой механики.
Был председателем научного совета РАН по комплексной проблеме "История мировой культуры" (с 1997 г.). Возглавлял комиссию по разработке научного наследия пионеров освоения космического пространства Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН (с 1978 г.).
Входил в состав редколлегий многих журналов и книг. Являлся заместителем главного редактора журнала "Космические исследования", членом редколлегии серии "Из истории отечественной философской мысли".
Скончался 26 марта 2001 г. в Москве в возрасте 86 лет, похоронен на Новодевичьем кладбище.
Академик Международной академии астронавтики (1974), Академии космонавтики им. К.Э. Циолковского.
Герой Социалистического Труда (1990). Награжден двумя орденами Ленина (1961, 1990), орденом "Знак Почета" (1975), золотой медалью "Серп и Молот" (1990), медалью "Ветеран Труда" (1988).
Удостоен наград РАН - золотой медали им. Б.Н. Петрова (1986; за цикл работ по теории и системам автоматического управления и экспериментальным исследованиям по освоению космического пространства), премии им. К.Э. Циолковского (1999; за монографию "Управление ориентацией космических аппаратов").
Автор около 60 научных трудов в области ракетостроения, искусствоведения, истории религии. В их числе "Вибрационное горение" (1961), "Управление ориентацией космических аппаратов" (1974, в соавторстве с Евгением Токарем), "Системы перспективы в изобразительном искусстве. Общая теория перспективы" (1986), "Пристрастие" (1997), "Постскриптум" (1999) и др.
Супруга - Вера Михайловна Раушенбах (Иванченко; 1919 г.р.), выпускница исторического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (МГУ), работала директором по научной части Государственного исторического музея. Две дочери-близнецы 1950 г.р.: Оксана окончила МФТИ; Вера - выпускница биологического факультета МГУ, кандидат биологических наук, преподает в Институте русского языка и культуры МГУ.
Одновременно с работой в области ракетной техники, с 1970-х гг. изучал теорию перспективы в изобразительном искусстве, русскую иконографию.