Родился 1 февраля 1964 г. в г. Алеппо Сирийской Арабской Республики. Чеченец сирийского происхождения, принадлежит к роду Курейшитов (потомков пророка Мухаммеда).
Окончил Дамасский университет, в 1992 г. - факультет международной журналистики Санкт-Петербургского государственного университета. В 2008 г. получил диплом специалиста в области международных отношений в Дипломатической академии Министерства иностранных дел РФ. В 2011 г. окончил Чеченский государственный университет.
Кандидат экономических наук. В январе 2005 г. в Санкт-Петербургском государственном университете кино и телевидения защитил диссертацию на тему "Повышение эффективности использования рыночных инструментов в сфере культуры".
В 1989 г. переехал в Чечню, в 1991 г. получил российское гражданство.
В 1991-1994 гг. работал в Министерстве иностранных дел т. н. Чеченской Республики Ичкерия (непризнанное государственное образование на части территории бывшей Чечено-Ингушской АССР; существовало в 1991-2000 гг.). Возглавлял отдел министерства по внешним связям.
В 1994-1997 гг. занимался предпринимательской деятельностью.
С 1997 г. был советником муфтия, затем главы администрации Чечни Ахмата Кадырова. Работал в московском представительстве республики, в отделе по внешним связям.
В октябре - ноябре 2003 г., после избрания Ахмата Кадырова первым президентом Чеченской Республики, Зияд Сабсаби занимал должность руководителя аппарата президента и правительства Чечни.
С ноября 2003 г. по июль 2004 г. - вице-премьер - руководитель аппарата президента и правительства республики.
С июля 2004 г. по ноябрь 2008 г. - заместитель председателя правительства Чеченской Республики - полномочный представитель Чеченской Республики при президенте РФ. Работал в правительствах Сергея Абрамова (2004-2006), Рамзана Кадырова (2006-2007), Одеса Байсултанова (2007-2012).
2 декабря 2007 г. баллотировался в Государственную думу РФ V созыва от партии "Единая Россия". Был шестым номером в региональной группе №20 (Чеченская Республика). После распределения мандатов в Думу не прошел.
Избирался депутатом парламента Чеченской Республики III, IV созывов по списку партии "Единая Россия".
С 26 ноября 2008 г. по 6 ноября 2019 г. - член Совета Федерации РФ, представитель от законодательного органа государственной власти Чеченской Республики. С ноября 2009 г. по ноябрь 2019 г. занимал должность заместителя председателя комитета Совфеда по международным делам. Сложил полномочия сенатора досрочно по личному заявлению. По словам Зияда Сабсаби, он принял это решение, чтобы "дать дорогу молодым".
Представитель главы Чеченской Республики Рамзана Кадырова на Ближнем Востоке и Северной Африке.
Вице-президент регионального общественного фонда им. Героя России Ахмата-Хаджи Кадырова. Участвовал в операциях по эвакуации из Сирии российских женщин и детей.
Общая сумма декларированного дохода за 2017 г. составила 4 млн 625 тыс. руб., супруги - 840 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2018 г. составила 4 млн 791 тыс. руб., супруги - 840 тыс. руб.
Награжден орденами Дружбы (2005), Почета (2014).