Родился 5 сентября 1938 г. в гор. Чернигове Украинской ССР.
Окончил Московский судостроительный техникум. В 1965 г. стал выпускником Всесоюзного заочного энергетического института (ныне МИРЭА - Российский технологический университет, Москва).
Доктор технических наук, профессор. В 1973 г. защитил кандидатскую диссертацию на тему "Аппаратура и методика непрерывного сейсмического профилирования в морях и океанах", в 1985 г. - докторскую диссертацию на тему "Технические основы методики применения подводных обитаемых аппаратов для исследовательских и подводно-технических работ в океане".
В 1959-1965 гг. работал в Институте автоматики и телемеханики Академии наук СССР (ныне Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук, РАН; Москва).
В 1965 г. перешел в Институт океанологии им. П. П. Ширшова АН СССР (ныне ИО им. П. П. Ширшова РАН, Москва).
В 1970-х гг. принимал участие в усовершенствовании закупленных в Канаде глубоководных обитаемых аппаратов (ГОА) "Пайсис VII" и "Пайсис XI" (могли опускаться на глубину 2 000 м), которые стали первыми советскими ГОА. В 1977 г. руководил экспедицией этих аппаратов на озере Байкал, тогда был установлен первый мировой рекорд погружения в пресной воде - "Пайсис XI" опустился на глубину 1 410 м.
С 1979 г. Анатолий Сагалевич возглавляет лабораторию научной эксплуатации глубоководных обитаемых аппаратов ИО РАН. Является главным научным сотрудником института, членом ученого совета. Осуществляет руководство работами с ГОА, которые применяются для научных исследований океана и подводно-технических работ.
В 1985-1987 гг. был одним из создателей ГОА "Мир-1" и "Мир-2" (работают на глубинах около 6 000 м). В декабре 1987 г. пилотировал аппараты в ходе их испытаний в Атлантическом океане.
Под руководством Сагалевича были разработаны глубоководные технологии по герметизации затонувших объектов, содержащих радиоактивные элементы, и проведены семь экспедиций на атомную подводную лодку (АПЛ) "Комсомолец" (затонула в 1989 г. в Норвежском море) и одна экспедиция на АПЛ "Курск" (в 2000 г. в Баренцевом море).
В 1991 и 1995 гг. возглавляемый им коллектив подводников, используя аппараты "Мир", проводил исследования на затонувшем в Атлантического океане британском лайнере "Титаник", лежащем на глубине 3 800 м. В частности, отснятый материал был использован в киноленте американского режиссера Джеймса Кэмерона "Титаник" (1997).
Анатолий Сагалевич был инициатором погружения в самую северную точку нашей планеты. 2 августа 2007 г. в качестве командира-пилота "Мира-1" он совершил первое в истории подледное погружение в точке географического Северного полюса, опустившись на глубину 4 261 м (состоялось в рамках Высокоширотной глубоководной экспедиции).
В 2009 г. возглавлял экспедицию на Байкал, в ходе которой 1 августа погрузился на "Мире-1" в воды озера вместе с Владимиром Путиным, который в то время занимал пост премьер-министра России.
В общей сложности Анатолий Сагалевич выполнил более 500 погружений на ГОА, провел под водой свыше 4 тыс. часов. В последний раз участвовал в погружениях в 2011 г. на аппаратах "Мир" в составе международной экспедиции по исследованию дна Женевского озера.
Герой Российской Федерации (2008). Звание было присвоено "за мужество и героизм, проявленные в экстремальных условиях, и успешное проведение Высокоширотной арктической глубоководной экспедиции".
Награжден орденами "Знак Почета" (1978, за глубоководные исследования Байкала), Ленина (1989, за создание ГОА "Мир-1" и "Мир-2"), Мужества (1994, за специальные подводные операции на АПЛ "Комсомолец").
Лауреат премии правительства РФ в области науки и техники (2012).
Автор и соавтор около 300 публикаций, в том числе 3 персональных монографий и 10 книг в соавторстве. Среди них - "Океанология и подводные обитаемые аппараты: методы исследований" (1987), "Глубина" (2002), "Романтическая океанология" (2018) и др.