Родился 13 сентября 1925 г. в Краснодаре.
В 1955 г. окончил Высшую школу тренеров при Государственном центральном ордена Ленина институте физической культуры им. И. В. Сталина (ныне Российский университет спорта - ГЦОЛИФК, Москва), в 1961 г. - факультет журналистики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Сергей Сальников начал заниматься футболом в 16 лет в юношеской команде московского "Спартака". Игровая позиция - нападающий.
В 1942-1943 гг. был игроком "Спартака".
В 1944-1945 гг. выступал за "Зенит" (Ленинград, ныне Санкт-Петербург). В августе 1944 г. в его составе стал обладателем Кубка СССР. В финале турнира, прошедшем на московском стадионе "Динамо", "Зенит" обыграл столичный ЦДКА (ныне ЦСКА) со счетом 2:1, Сальников забил победный мяч. По информации официального сайта "Зенита", каждый из игроков клуба тогда был награжден медалью "За оборону Ленинграда".
В 1946-1949 гг. Сергей Сальников вновь выступал за московский "Спартак". В 1946 и 1947 гг. вместе с этим клубом выигрывал Кубок СССР.
В 1950 г. стал игроком московского "Динамо". Переход футболиста в эту команду был обусловлен желанием помочь отчиму, находившемуся в тюремном заключении ("Динамо" - клуб, созданный при Народном комиссариате внутренних дел СССР по инициативе представителей Государственного политического управления). В 1953 г. в составе "Динамо" выиграл Кубок СССР, в 1954 г. - чемпионат страны.
В 1955 г., после освобождения отчима, Сергей Сальников вернулся в "Спартак". В связи с этим в апреле того года он был лишен звания заслуженного мастера спорта СССР (получено в 1954 г.), однако уже в июле звание восстановили. Сальников выступал за "Спартак" до 1960 г., в его составе в 1956 и 1958 гг. выиграл первенство страны, в 1958 г. - Кубок СССР.
В общей сложности в чемпионатах СССР провел 334 матча, забил 101 мяч.
8 сентября 1954 г. Сергей Сальников дебютировал в составе сборной СССР. Товарищеская игра против шведов, состоявшаяся в Москве, завершилась со счетом 7:0 в пользу советских футболистов. Сальников забил 2 мяча.
В августе 1956 г., выступая за сборную Москвы, стал чемпионом футбольного турнира на I летней Спартакиаде народов СССР.
В декабре 1956 г. в составе сборной СССР завоевал золото футбольного турнира в рамках XVI летних Олимпийских игр в Мельбурне (Австралия).
В 1958 г. Сергей Сальников в составе сборной СССР участвовал в чемпионате мира, проходившем в Швеции. Команда вышла в четвертьфинал, но на этой стадии 19 июня в Стокгольме уступила хозяевам турнира со счетом 0:2. Этот матч стал для Сальникова последним в составе национальной команды.
В общей сложности в 1954-1958 гг. он провел за сборную СССР 20 матчей, в которых забил 11 мячей.
В 1961 г. Сергей Сальников был главным тренером клуба "Шахтер" (Шахты, Ростовская область), в 1964 г. - клуба "Труд" (ныне "Факел", Воронеж).
В 1965-1966 и 1967-1969 гг. - помощник главного тренера, в 1967 г. - главный тренер московского "Спартака".
В 1971-1972 гг. возглавлял команду "Маареф" (Кабул, Афганистан).
В 1975 г. Сергей Сальников входил в тренерский штаб юношеской сборной СССР, в 1976-1977 гг. - в тренерский штаб сборной Афганистана.
В 1978 г. был главным тренером московской команды "Красная Пресня".
В 1979-1984 гг. Сергей Сальников работал телекомментатором спортивной редакции Гостелерадио СССР. Также регулярно выступал в периодической печати с обозрениями и статьями на футбольную тематику.
Сергей Сальников скончался 9 мая 1984 г. в Москве на 59-м году жизни. Похоронен на Кунцевском кладбище.
Заслуженный мастер спорта СССР (1954).
Сергей Сальников был награжден орденом "Знак Почета" (1957).
Был дважды женат. Первая супруга - Нина. Дочери - Нина и Александра. Вторая жена - Валентина. Сын - Сергей, дочери - Алла и Юлия. Юлия Сальникова была неоднократной чемпионкой СССР по теннису. В начале 1990-х гг. она вышла замуж за тренера Апостолоса Циципаса и переехала в Грецию. Их старший сын - известный греческий теннисист, финалист турниров Большого шлема Стефанос Циципас (род. 1998).
Его жизни и карьере посвящена книга "Сергей Сальников" (2004, автор Александр Соскин).