Родился 13 мая 1945 г. в Бейруте (Ливан) третьим ребенком в семье с пятью детьми. Его отец - Саиб Салям (1905-2000 гг.), был известным ливанским политическим деятелем, премьер-министром Ливана (1952-1953 гг., 1960-1961 гг., 1970-1972 гг.).
Тамам Салям получил начальное образование во Франко-ливанском лицее (Lycee franco-libanaise), в школе "Аль-Атфаль - аль-Макассед" (Beit Al Atfal - Al Makassed) и в Викторианском колледже (Египет). Среднее образование он получил в Высшей школе "Бруммана" (Brummana High School). В 1965 г. обучался в одном из университетов Великобритании, где изучал экономику и бизнес-менеджмент. Закончил Университет "Айказян" в Бейруте.
В 1974 г. он основал молодежное политическое Движение первопроходцев реформ (the Pioneers of Reform Movement), в которое были вовлечены молодые жители Бейрута. По некоторым источником движение представляло собой частную милицию на службе у отца Тамама. Салям распустил организацию с началом гражданской войны в Ливане в 1975 г. из опасений, что она, как военизированная группа, может быть вовлечена в военные действия.
После окончания гражданской войны в Ливане (1975-1990 гг.) Тамам вместе со своим отцом создал Исламский благотворительный фонд "Макассед" (Makassed Philanthropic Islamic Association), который занимался гуманитарной и просветительской деятельностью. Тамам входил в совет попечителей фонда. В 1983 он сменил своего отца на посту главы фонда и руководил им до 2000 г. В 1980-х годах основал радиостанцию "Голос нации" (Voice of the Nation), являвшуюся собственностью фонда. В настоящее время Тамам Салям остается почетным президентом организации.
С 1996 по 2000 гг. он был депутатом парламента Ливана.
В 2009 г. Тама Салям был вновь избран в парламент. Был членом парламентских комитета по международным делам и комитета по национальной экономике. Избирался как независимый кандидат. Не являясь членом какой-либо партии, он входит в так называемый парламентский Ливанский первый блок, занимая центристские позиции.
С июля 2008 по июнь 2009 гг. был министром культуры.
Весной 2013 г. Тамам Саляма был утвержден парламентом в качестве председателя совета министров Ливана вместо ушедшего в отставку 22 марта 2013 г. Наджиба Микати. В ходе консультаций с парламентскими фракциями за Саляма проголосовали 124 из 128 депутатов. Его поддержали прозападная "Коалиция 14 марта", центристская Прогрессивно-социалистическая партия и председатель Палаты депутатов Набих Берри, возглавляющий "Коалицию 8 марта", в которую входят просирийские партии и шиитская организация "Хезболлах". 6 апреля 2013 года президент Ливана Мишель Сулейман утвердил кандидатуру Тамама Саляма на пост председателя совета министров и поручил ему сформировать правительство.
15 февраля 2014 г. Тамам Салям сформировал правительство, став в нем премьер-министром.
С 25 мая 2014 г. по 31 октября 2016 г. в соответствии с конституцией Тамам Салям исполнял обязанности президента страны после истечения срока полномочий Мишеля Сулеймана и до избрания Мишеля Ауна.
Глава культурного и образовательного Фонда Саиба Саляма.
Мусульманин-суннит.
Жена - Лама Бадрэддин (Lama Badreddine). В семье сын и две дочери: Саиб (Saeb), Таммима (Tammima) и Сурая (Thuraya).
Мать: Тамима Мардам Бейк (Tamima Mardam Beik), уроженка Дамаска (Сирия).
Дед: Салим Али Салям (Salim Ali Salam), видный ливанский чиновник в Османской империи и при французской администрации в первой половине ХХ в., был депутатом парламента Османской империи от Бейрута и главой муниципалитета Бейрута.
У Тамама Саляма есть две старшие сестры и два младших брата.