Родился 3 августа 1968 г. в г. Горьком (ныне Нижний Новгород).
В 1997 г. окончил Академию народного хозяйства при правительстве РФ (ныне Российская академия народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ) по специальности "экономика и управление производством", в 2000 г. - юридический факультет Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского.
Кандидат юридических наук.
Работал на нижегородском заводе "Двигатель революции" (производство судовых двигателей). Был контролером 3-го разряда, рабочим.
Служил в составе воинского контингента советских войск в Афганистане.
С 1994 по 1995 г. - генеральный директор АООТ "Лукойл-Уфа".
С 1995 по 1997 г. - генеральный директор АООТ "Лукойл - Нижний Новгород".
В 1996-1997 гг. - вице-президент по коммерческим вопросам нефтяной компании ОАО "Норси-ойл" (г. Кстово, Нижегородская область). В 1997 г. - президент нефтяной компании ОАО "Норси-ойл".
В 1997 г. возглавлял совет директоров ЗАО "Нефтехим".
29 марта 1998 г. был избран депутатом Законодательного собрания Нижегородской области II созыва по избирательному округу №35 (Кстовский район).
В 1998-1999 гг. - президент ОАО "Транснефть". Одновременно входил в состав коллегии Министерства топлива и энергетики РФ.
В 1999 г. был членом совета директоров Союза нефтеэкспортеров России (СОНЭК).
С 1999 по 2003 г. - депутат Государственной думы РФ III созыва. Был избран 19 декабря 1999 г. по Сергачскому одномандатному избирательному округу №122 (Нижегородская область). Баллотировался в порядке самовыдвижения. На выборах набрал 29,36% голосов (второе место в округе занял глава Совета общественного самоуправления Автозаводского района Нижнего Новгорода Николай Рябов - 11,71%). В Думе был заместителем председателя комитета по энергетике, транспорту и связи. Входил во фракцию "Союз правых сил", был членом межфракционного объединения "Деловая Россия", межфракционной депутатской группы "Волга-Урал".
В 2001 г. участвовал в выборах губернатора Нижегородской области. По итогам первого тура 15 июля 2001 г. занял 4-е место из 11 кандидатов с результатом 12,58% голосов. Губернатором области стал Геннадий Ходырев (59,8% во втором туре 29 июля 2001 г.).
В декабре 2002 г. входил в число организаторов Партии прав человека (не зарегистрирована) вместе с депутатом Госдумы Владимиром Семеновым, литератором Марией Арбатовой.
С 2003 по 2016 г. - депутат Государственной думы РФ IV, V, VI созывов. Был избран в IV созыв 7 декабря 2003 г.: выдвинут блоком "Родина (народно-патриотический союз)" по одномандатному округу №175 (Тульская область), набрал 23,11% голосов. Избирался депутатом V и VI созывов от Тульской области по списку партии "Единая Россия": 2 декабря 2007 г. баллотировался под третьим номером в составе региональной группы №74; 4 декабря 2011 г. - под четвертым номером в региональной группе №72. Входил во фракцию "Единая Россия", в 2011-2016 гг. был первым заместителем руководителя фракции.
С октября 2016 г. по сентябрь 2024 г. - член Совета Федерации РФ (сенатор) - представитель от исполнительного органа государственной власти Тульской области. Был наделен полномочиями сенатора в октябре 2016 г., 23 сентября 2021 г. В октябре 2024 г. новым представителем от исполнительного органа госвласти Тульской области стал Николай Воробьев. В связи с этим полномочия Дмитрия Савельева как сенатора были официально прекращены (с 7 октября 2024 г.).
2 августа 2024 г. сенатор Дмитрий Савельев был лишен неприкосновенности по представлению генерального прокурора РФ Игоря Краснова. Решение было принято в закрытой части заседания после того, как председатель Совфеда Валентина Матвиенко подвела итоги весенней сессии. Савельева задержали прямо на выходе из зала заседаний Совфеда, что стало вторым случаем в истории Совета Федерации после задержания в 2019 г. сенатора от Карачаево-Черкесии Рауфа Арашукова. Савельев подозревается в причастности к организации попытки убийства своего бывшего бизнес-партнера Сергея Ионова, осужденного в 2022 г. за растрату 1,6 млн руб. компании "Оптомониторинг", соучредителем которой является Савельев, а совладельцами - его сыновья. 2 августа Басманный суд Москвы заключил сенатора под стражу. В отношении него возбуждено уголовное дело по обвинению в организации убийства (ч. 3 ст. 33, ч. 1 ст. 30, п. "з" ч. 2 ст. 105 УК РФ).
Был членом тульского регионального политсовета партии "Единая Россия". Членство в партии приостановлено в связи с возбуждением уголовного дела.
Награжден орденами Александра Невского (2019) и Почета (2012), двумя медалями "За отвагу" (1988, 1989), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2010).