Родился 18 января 1954 г. в Ташкенте (Узбекская ССР, ныне Республика Узбекистан).
В 1977 г. окончил механико-машиностроительный факультет Ленинградского политехнического института им. М. И. Калинина (ныне Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого), в 1986 г. - факультет организаторов промышленного производства Ленинградского инженерно-экономического института им. Пальмиро Тольятти (ныне Санкт-Петербургский государственный инженерно-экономический университет). Стажировался за рубежом, имеет степень магистра делового администрирования (МВА).
Кандидат экономических наук. В 1997 г. в петербургском филиале Международной академии информатизации защитил диссертацию на тему "Административный бизнес: управление в системе цивилизованного предпринимательства".
В 1977-1980 гг. - инженер пусконаладочного отдела ленинградского филиала Всесоюзного института по проектированию организации энергетического строительства (Оргэнергострой; ныне АО "Институт "Оргэнергострой") Министерства энергетики и электрификации СССР.
С 1980 по 1984 гг. работал на строительстве Саяно-Шушенской гидроэлектростанции, занимал должности начальника технического отдела, затем главного конструктора управления подсобных предприятий Минэнерго СССР в г. Саяногорске Хакасской автономной области Красноярского края (ныне Республика Хакасия).
В 1984 г. Виталий Савельев вернулся в Ленинград, где первоначально был руководителем группы ленинградского филиала Оргэнергостроя, затем до 1987 г. - главным технологом, заместителем управляющего Всесоюзного треста "Севзапметаллургмонтаж" Минмонтажспецстроя СССР.
С 1987 г. работал заместителем начальника главного управления по строительству инженерных сооружений Ленгорисполкома.
В 1989-1993 гг. занимал должность президента российско-американского совместного предприятия "Диалог-инвест", поставлявшего компьютерную технику в СССР и Россию. Был одним из создателей, членом совета директоров Диалогбанка.
В 1993-1995 гг. - председатель правления акционерного банка "Россия" (Санкт-Петербург).
В 1995-1996 гг. - управляющий представительством банка "Менатеп" в Санкт-Петербурге, в 1996-2001 гг. - председатель правления банка "Менатеп Санкт-Петербург". В этот период также был членом советов директоров пивоваренной компании "Балтика", футбольного клуба "Зенит'".
С 2001 по 2002 г. Виталий Савельев был заместителем председателя правления ОАО (ныне ПАО) "Газпром" Алексея Миллера, курировал финансы.
С мая 2002 г. по апрель 2004 г. - вице-президент ООО "Объединенная компания "Грос", советник генерального директора ОАО "Связьинвест" по финансам и информационным технологиям.
С 9 апреля 2004 г. по 22 октября 2007 г. занимал должность заместителя министра экономического развития и торговли РФ Германа Грефа.
В 2007-2009 гг. Виталий Савельев был первым вице-президентом инвестиционной компании АФК "Система", курировал телекоммуникационные активы, в том числе сотового оператора МТС.
26 марта 2009 г. был избран генеральным директором ОАО "Аэрофлот - российские авиалинии" (ныне ПАО "Аэрофлот"), вступил в должность 10 апреля того же года, сменив на посту Валерия Окулова. В июне 2009 г. Виталий Савельев был введен в совет директоров "Аэрофлота", в ноябре 2020 г. стал его председателем.
Под руководством Виталия Савельева в 2011 г. в группу "Аэрофлота" из состава "Ростехнологий" были переданы авиаперевозчики "Владивосток Авиа", "Сахалинские авиатрассы", "Россия" и др. В 2013 г. на базе первых двух была создана региональная авиакомпания "Аврора". В 2014 г. начал полеты входящий в группу "Аэрофлота" лоукостер-перевозчик "Победа".
С 2016 г. - член высшего совета партии "Единая Россия".
С 10 ноября 2020 г. по 14 мая 2024 г. - министр транспорта в правительстве Михаила Мишустина. За его кандидатуру проголосовали 274 депутата, 55 воздержались. Голосовавших против не было. Сменил во главе ведомства Евгения Дитриха.
С 14 мая 2024 г. - заместитель председателя правительства РФ Михаила Мишустина. В Госдуме его назначение поддержали 378 депутатов из 448, воздержались - 57, голосовавших против не было. Курирует развитие и функционирование транспортной системы России, строительство и работу пунктов пропуска через госраницу, регулирование деятельности естественных монополий в сфере транспорта.
Председатель совета директоров РЖД (с июня 2024 г, член совета директоров с апреля 2021 г.).
Был председателем совета директоров Государственной транспортной лизинговой компании (с декабря 2020 г. по март 2022 г.).
Награжден орденами "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2013), Александра Невского (2018), Почета (2006) и Дружбы, медалью П. А. Столыпина I степени (2024). Отмечен Почетной грамотой правительства РФ (2005) и благодарностью президента РФ (2012).
Кандидат в мастера спорта по боксу.