Родился 1 июля 1957 г. в Таганроге (Ростовская область). В детстве переехал в Обнинск (Калужская обл.), где его родители начали работать на атомной электростанции.
В 1974 г. завершил обучение в московской школе-интернате спортивного профиля №9 (ныне Московское среднее специальное училище олимпийского резерва №1, техникум).
В 1984 г. Александр Савин окончил Московский областной государственный институт физкультуры (ныне Московская государственная академия физической культуры, пос. Малаховка Московской обл.), в 1993 г. - Высшую школу тренеров Государственного центрального института физической культуры (ныне Российский государственный университет физической культуры, спорта, молодежи и туризма).
Карьера игрока
Александр Савин начал заниматься волейболом в 1967 г. в школьной секции. Впоследствии совершенствовал мастерство в Обнинской детско-юношеской спортивной школе (ныне Специализированная детско-юношеская спортивная школа олимпийского резерва по волейболу Александра Савина) под руководством тренера Владимира Питанова. Игровая специализация - нападающий первого темпа.
В 1973 г. стал игроком столичного волейбольного клуба ЦСКА. Выступал за эту команду на протяжении всей карьеры. В ее составе стал 13-кратным чемпионом СССР (1975-1983, 1985-1988), трехкратным обладателем Кубка страны (1982, 1984, 1985) и пятикратным обладателем Кубка чемпионов Европейской конфедерации волейбола (1975, 1977, 1982, 1983, 1986).
Выступая за команду РСФСР, в 1979 г. первенствовал на VII летней Спартакиаде народов СССР.
В 1975-1986 гг. Александр Савин был игроком сборной СССР. В ее составе стал чемпионом XXII летних Олимпийских игр (1980, Москва) и серебряным призером XXI летней Олимпиады (1976, Монреаль, Канада), двукратным чемпионом мира (1978 - Италия, 1982 - Аргентина), двукратным победителем розыгрышей Кубка мира (1977 - Япония, 1981 - Япония), шестикратным чемпионом Европы (1975 - Югославия, 1977 - Финляндия, 1979 - Франция, 1981 - Болгария, 1983 - ГДР, 1985 - Нидерланды), а также победителем турнира "Дружба-84" (1984, Гавана, Куба) и I летних Игр доброй воли (1986, Москва). Является одним из наиболее титулованных игроков в истории отечественного волейбола.
В 1986 г. Александр Савин перестал выступать за сборную СССР из-за конфликта с главным тренером Вячеславом Платоновым. В 1988 г. завершил карьеру игрока.
Тренерская деятельность
В 1988-1989 гг. Александр Савин был главным тренером мужской команды Вооруженных сил Республики Мадагаскар.
С 1989 по 1991 г. - тренер команды "Искра" (Одинцово, Московская обл.).
В 1992-1994 гг. Александр Савин возглавлял команду "Рассвет" (Москва).
В 1994-1997 гг. тренировал команду "Танаис" (Новомосковск, Тульская обл.), в этот же период был главным тренером юношеской сборной России.
В 1998-2001 гг. возглавлял клуб "Самотлор" (Нижневартовск, Ханты-Мансийский автономный округ).
Впоследствии работал в Федеральном агентстве по физической культуре и спорту (курировал национальную сборную страны, занимался формированием олимпийского резерва и организацией деятельности детских волейбольных школ), а также являлся тренером-консультантом волейбольного клуба "Обнинск".
Общественная деятельность
В 2005-2010 гг. Александр Савин был членом Обнинского городского собрания V созыва. Избран 30 октября 2005 г. от блока "Нам здесь жить" по Обнинскому многомандатному округу №5 (занял четвертое место, набрав 22,86% голосов). Являлся депутатом на непостоянной основе, входил в состав комитета по социальной политике.
14 марта 2010 г. выдвигался в депутаты Обнинского горсобрания VI созыва от политической партии "Единая Россия". Занял в Обнинском многомандатном округе №4 шестое место (27,6% голосов), избран не был.
В 2000-2010-х гг. являлся советником губернатора Калужской области Анатолия Артамонова по вопросам физической культуры и спорта.
Президент Благотворительного фонда спортивного движения "Москва-80" и Благотворительного фонда духовного воспитания и развития физической культуры и спорта "Ардатов. Дети".
Звания, награды
Заслуженный мастер спорта СССР (1978). Майор в отставке.
Александр Савин награжден орденами "Знак Почета" (1980) и Дружбы народов (1985).
В 2010 г. включен в Зал славы волейбола (Холиок, шт. Массачусетс, США).