Родился 4 марта 1937 г. в городе Баян-Тумен (ныне Чойбалсан, Монголия), где военным врачом служил его отец (мать была в той же санчасти медсестрой). Затем семья вернулась в Ленинград (ныне Санкт-Петербург). Во время Великой Отечественной войны 1941-1945 гг. Юрий Сенкевич находился с матерью в эвакуации - сначала в г. Великом Устюге (Вологодская обл.), потом в Кировской области.
В 1960 г. окончил Военно-медицинскую академию им. С. М. Кирова в Ленинграде по специальности "врач по авиационной и космической медицине" с присвоением звания лейтенанта медицинской службы.
В 1975 г. защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата медицинских наук на тему "Профилактика нарушений кровообращения при гипокинезии с помощью физической тренировки и гипоксии".
После окончания академии Юрий Сенкевич служил начальником медпункта в военной части, которая дислоцировалась близ города Бологое Калининской (ныне Тверской) области.
В 1962 г. был переведен в Москву в Научно-исследовательский испытательный институт авиационной медицины Минобороны СССР (ныне научно-исследовательский испытательный центр (авиационно-космической медицины и военной эргономики) в составе Центрального научно-исследовательского института ВВС Минобороны РФ). Занимал должность младшего научного сотрудника.
В январе 1964 г. Сенкевича прикомандировали к Министерству здравоохранения СССР, при этом он остался на военной службе. Стал работать младшим научным сотрудником в Институте медико-биологических проблем Минздрава СССР (ныне ИМБП РАН, Москва).
Летом 1965 г. прошел отбор в ИМБП в качестве врача-исследователя и был включен в группу по подготовке к пятисуточному орбитальному полету на многоместном космическом корабле "Восход" с медицинской программой исследований. Однако планировавшийся на 1967 г. полет не состоялся из-за закрытия программы "Восход", и группа была расформирована.
В июле 1970 г. в рамках второго космического набора ИМБП был допущен к спецподготовке, но в отряд космонавтов института не был зачислен.
С 1973 г. до конца своей жизни Юрий Сенкевич был ведущим телепередачи "Клуб кинопутешествий" (ее основателем и первым ведущим был народный артист РСФСР Владимир Шнейдеров).
Долгое время совмещал работу на телевидении и в ИМБП, где с 1974 по 1982 г. заведовал отделом научно-медицинской и технической информации.
С 1982 по 1990 г. занимал должность начальника Учебно-тренировочного специализированного центра медико-биологической подготовки космонавтов ИМБП.
В Институте медико-биологических проблем изучал гипокинезические состояния человека, участвовал в реализации 22-суточного экспериментального космического полета двух собак на борту аппарата "Космос-110" (1966), в подготовке и проведении медицинских исследований по программам "Союз" и "Салют". Занимался изучением поведения человека в экстремальных условиях, разработкой теоретических проблем авиакосмической медицины и биологии, оригинальных методов и средств психофизиологического отбора и подготовки космонавтов.
В 1993 г. в связи с болезнью был уволен с военной службы в запас в звании полковника медицинской службы. В том же году ушел из ИМБП РАН.
С 1993 г. являлся президентом "Медстройинвестбанка".
В апреле 1995 г. выступил одним из учредителей общественного объединения "Клуб путешественников".
В 1997 г. был избран академиком Российской телевизионной академии.
Являлся президентом Ассоциации путешественников СССР, членом Союза журналистов СССР/России, членом правления и вице-президентом Общества дружбы "СССР - Норвегия".
Принимал участие во многих экспедициях, в общей сложности побывал в более чем в 100 странах мира. В 1966-1967 гг. участвовал в 12-й советской антарктической экспедиции, работал на внутриконтинентальной станции "Восток". Собранные им в Антарктиде материалы легли в основу кандидатской диссертации. Вместе с норвежским исследователем Туром Хейердалом совершил морские путешествия на папирусных лодках "Ра" (1969) и "Ра-II" (1970), также на тростниковой лодке "Тигрис" (1978-1979). Участвовал в медицинском обеспечении советской экспедиции на Северный полюс (1979) и первой советской экспедиции на самую высокую гору мира Эверест (Гималаи, 1980-1982).
Автор и соавтор более 150 научных работ в области космической физиологии и психологии. Написал книги "На "Ра" через Атлантику" (1973), "В океане "Тигрис" (1982), "Путешествие длиною в жизнь" (1999), "Их позвал горизонт" (соавтор) и др.
Юрий Сенкевич скончался 25 сентября 2003 г. в Москве от сердечного приступа на 67-м году жизни. Похоронен на Новодевичьем столицы.
Был награжден орденами "Дружба народов" (1978), "Знак Почета" (1982), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2000), а также орденом "Офицер династии Аллауитов" (Марокко, 1971), орденом "За заслуги" (Египет, 1971).
Лауреат Государственной премии СССР (за комплекс исследований в Антарктиде).