Родился 2 августа 1955 г. в селе Бутурлино Горьковской области (ныне поселок городского типа в Нижегородской обл.).
В 1977 г. окончил радиофизический факультет Горьковского государственного университета (ныне Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет) им. Н. И. Лобачевского по специальности "радиофизика".
Доктор физико-математических наук. В 1982 г. в Институте прикладной физики Академии наук СССР (ныне ИПФ РАН) защитил кандидатскую диссертацию по теме "Самовоздействие и трансформация интенсивных электромагнитных волн в магнитоактивной плазме", в 2000 г. там же - докторскую диссертацию по теме "Нелинейные волновые процессы при генерации сверхкоротких оптических импульсов и взаимодействии сильных оптических полей с веществом".
В 2003 г. был избран членом-корреспондентом, в 2016 г. - академиком Российской академии наук (РАН). Является членом Отделения физических наук РАН (секция общей физики и астрономии).
После окончания университета был принят стажером-исследователем в ИПФ АН СССР (г. Горький, ныне Нижний Новгород). Затем работал младшим (1979-1985), старшим (1985-1991) научным сотрудником, заведующим лабораторией (1991-1994) и отделом (1994-2001). С 2001 по 2015 г. занимал должность заместителя директора ИПФ РАН, в 2001-2012 гг. также возглавлял отделение института.
С 2015 по 2017 г. занимал пост директора Института прикладной физики РАН. В настоящее время является главным научным сотрудником лаборатории импульсных твердотельных лазеров, действующей в составе отдела сверхбыстрых процессов отделения нелинейной динамики и оптики ИПФ РАН.
По совместительству являлся профессором кафедры общей физики радиофизического факультета Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского (ННГУ).
В 2017-2022 гг. - президент Российской академии наук. Был избран 26 сентября 2017 г. на общем собрании РАН. В первом туре, в котором участвовали еще четверо кандидатов, Александр Сергеев набрал 42,7%, или 681 голос при минимальном пороге в 799. Во втором туре - 70,18%, или 1 045 голосов при минимуме в 745 (опередил Роберта Нигматулина, получившего 412 голосов, или 27,67%). Указ об утверждении его в должности был подписан президентом РФ Владимиром Путиным 27 сентября 2017 г.
19 июля 2022 г. Александр Сергеев был зарегистрирован одним из четырех кандидатов в президенты РАН на очередных выборах. Был выдвинут бюро отделений физических наук, биологических наук, историко-филологических наук, глобальных проблем и международных отношений и 402 членами РАН. 1 сентября он прошел процедуру согласования в правительстве РФ и был допущен к выборам вместе с Геннадием Красниковым и Дмитрием Марковичем. 19 сентября 2022 г. на начавшем работу общем собрании членов РАН Александр Сергеев заявил о снятии своей кандидатуры с выборов. Он назвал свое решение вынужденным, отметив, что предвыборная кампания проходит в "беспрецедентных условиях" и многие члены РАН "подвергаются психологическому и даже внешнему административному давлению". 20 сентября 2022 г. президентом РАН был избран Геннадий Красников.
22 сентября 2022 г. в ходе выборов руководства Российской академии наук был избран членом президиума РАН (на пять лет).
В октябре 2022 г. был назначен научным руководителем Национального центра физики и математики (НЦФМ), который создается в гор. Сарове (Нижегородская обл.) по поручению президента России Владимира Путина.
Александр Сергеев - ученый в области лазерной физики, фемтосекундной оптики (оптика сверхкоротких лазерных импульсов), теории нелинейных волновых явлений, физики плазмы и биофотоники (исследует взаимодействие света с биологической тканью). Под его руководством в ИПФ РАН был создан самый мощный в России петаваттный (10 в пятнадцатой степени ватт, или миллиард мегаватт) лазерный комплекс, разработаны новые способы применения фемтосекундного излучения в области медицины и сверхточной обработки материалов.
Является председателем Совета РАН по космосу (с ноября 2017 г.), Совета по региональной политике РАН (с февраля 2022 г.).
Возглавляет группу российских ученых в проекте по детектированию гравитационных волн LIGO в США. В 2016 г. участникам проекта была присуждена престижная премия Грубера по космологии, а также премия по фундаментальной физике (учреждена российским бизнесменом Юрием Мильнером).
Входит в состав редколлегий журналов "Успехи физических наук" и "Известия ВУЗов - Радиофизика".
Член Совета при президенте РФ по стратегическому развитию и национальным проектам (с июля 2018 г.), Совета при президенте РФ по науке и образованию, Межведомственной комиссии Совета безопасности РФ по вопросам совершенствования государственной миграционной политики (с февраля 2022 г.).
Награжден орденами Почета (2006), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2020), Александра Невского (2024).
Лауреат Государственной премии РФ в области науки и техники (1999), премии правительства РФ в области науки и техники (2012).
Член Академии наук Китая (2019).
Автор и соавтор более 350 научных работ. Среди них "К аналитической теории лазерных осветителей" (1980), "От фемтосекундных к аттосекундным импульсам" (1999), "Тераваттный фемтосекундный титан-сапфировый лазерный комплекс" (2001), "100-тераваттный фемтосекундный лазер на основе параметрического усиления" (2005), "Горизонты петаваттных лазерных комплексов" (2011), "ВКР-лазер с пикосекундной длительностью импульса, работающий в безопасном для глаз диапазоне" (2016) и др.