Родился 31 мая 1945 г. в городе Сталино (Сталинская обл., Украинская ССР; ныне Донецк, Донецкая Народная Республика, РФ) в семье служащих.
В 1968 г. окончил физический факультет Московского государственного университета (МГУ) им. М. В. Ломоносова, руководителем его дипломной работы был видный ученый Леонид Келдыш. В 1968-1971 гг. Александр Сигов учился в аспирантуре физфака МГУ.
Доктор физико-математических наук, профессор (1987). В 1972 г. в МГУ защитил кандидатскую диссертацию на тему "Исследование статических и динамических свойств периодических доменных стенок в тонких ферромагнитных пленках", в 1985 г. - докторскую диссертацию на тему "Особенности физических свойств кристаллов с дефектами вблизи структурных и магнитных фазовых переходов".
В 2006 г. был избран членом-корреспондентом Российской академии наук (РАН), в 2011 г. - академиком РАН по отделению нанотехнологии и информационных технологий.
С 1972 г. Александр Сигов начал преподавать в Московском институте радиотехники электроники и автоматики (МИРЭА; ныне МИРЭА - Российский технологический университет, РТУ МИРЭА).
В 1985-1998 гг. - декан факультета электроники и оптоэлектронной техники МИРЭА. Одновременно с 1986 по 1992 г. заведовал кафедрой физики.
В декабре 1991 г. Александр Сигов был назначен заведующим кафедрой прикладных проблем ВТСП (ныне кафедра наноэлектроники Института перспективных технологий и индустриального программирования РТУ МИРЭА). По настоящее время возглавляет эту кафедру.
С мая 1998 г. по июнь 2013 г. занимал пост ректора МИРЭА.
С июня 2013 г. по н. в. - президент МИРЭА - Российского технологического университета.
С июня 2023 г. является заместителем академика-секретаря отделения нанотехнологий и информационных технологий Российской академии наук (ОНИТ РАН) Владислава Панченко, возглавляет секцию нанотехнологий ОНИТ РАН.
Член Научного совета "Науки о жизни", Научно-издательского совета (с января 2023 г.), Экспертного совета (с ноября 2024 г.) РАН.
Александр Сигов - специалист в области физики твердого тела, твердотельной электроники и физического материаловедения, элементной базы информационных систем. Внес вклад в исследование физических свойств систем с пониженной размерностью и/или структурным беспорядком и создание на их основе функциональных устройств нано-, микроэлектроники. Под его руководством разработаны радиационностойкие высокоскоростные запоминающие устройства (ЗУ), микроэлектромеханические системы, сегнетоэлектрические ЗУ и наногетероструктуры для устройства фотоники, исследован и внедрен в промышленность новый класс диэлектрических материалов для формирования диэлектрических слоев многоуровневой разводки интегральных схем.
Автор и соавтор более 300 научных трудов, в том числе монографий и учебников. Среди них - "Стабилизация сверхпроводящих магнитных систем" (1991), "Наноэлектроника. Энциклопедия систем жизнеобеспечения" (2009), "Многослойные магнитные наноструктуры. Нанонаука и нанотехнологии. Энциклопедия систем жизнеобеспечения" (2009), "Поверхностный спин-флоп переход в антиферромагнетике" (2010), "Фрустрированные магнитные наноструктуры" (2016) и др.
Александр Сигов награжден орденами "За заслуги перед Отечеством" III (2022) и IV (2006) степеней, Почета (2016).
Лауреат Государственной премии РФ 2003 года в области науки и техники (за работу "Научно-технические основы создания многокомпонентных материалов и групповых технологий холодного и горячего плакирования" в составе коллектива авторов), премий правительства РФ в области науки и техники (2000, 2011) и в области образования (2008) и др.
Заслуженный деятель науки РФ (1997). Почетный работник высшего профессионального образования РФ.