Родился 31 мая 1945 г. в гор. Сталино (ныне Донецк) в семье военнослужащих. Старший брат - Юрий (1934-1999) - был ученым в области плазмы, ракетных двигателей.
В 1968 г. Александр Сигов окончил с отличием физический факультет Московского государственного университета им М. В. Ломоносова (научным руководителем Сигова был видный ученый Леонид Келдыш).
Доктор физико-математических наук. Кандидатскую диссертацию защитил в МГУ в 1972 г. (тема - "Исследование статических и динамических свойств периодических доменных стенок в тонких ферромагнитных пленках"), докторскую - в 1984 г. (тема - "Особенности физических свойств кристаллов с дефектами вблизи структурных и магнитных фазовых переходов").
После аспирантуры в 1971 г. Александр Сигов начал работать в Московском институте радиотехники электроники и автоматики (МИРЭА, ныне Российский технологический университет - МИРЭА).
В 1985-1998 гг. был деканом факультета электроники и оптоэлектронной техники МИРЭА. Параллельно в 1986-1992 гг. заведовал кафедрой физики, а в 1992-1998 гг. - кафедрой электроники конденсированных сред.
В 1987 г. получил звание профессора.
В мае 1998 г. был избран ректором МИРЭА. Переизбирался в 2003 и 2008 гг. В июне 2013 г. на посту ректора его сменил Станислав Кудж, Сигов занял в вузе новую должность - президента. Также продолжает возглавлять научно-технический совет РТУ МИРЭА.
В 2006 г. был избран членом-корреспондентом, а в 2011 г. - действительным членом РАН (Отделение нанотехнологии и информационных технологий).
Александр Сигов - специалист в области физики твердого тела, микро- и наноэлектроники и материаловедения. Является автором и соавтором более 250 научных работ, девяти учебников (по теме наноэлектроники, системному анализу электрорадиоизмерениям и др.).
Главный редактор научного журнала "Электроника. Наука, технология, бизнес". В 2010-2020 гг. также был главредом журнала "Наноматериалы и наноструктуры".
В 2012 г. был доверенным лицом Владимира Путина на выборах президента РФ.
Заслуженный деятель науки РФ (1997).
Награжден орденами Почета (2016), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2006). Лауреат Государственной премии РФ в области науки и техники (2003, за работу "Научно-технические основы создания многокомпонентных материалов и групповых технологий холодного и горячего плакирования"), двух премий правительства РФ в области науки и техники (2000, 2011).