Родился 26 сентября 1947 г. в с. Богучарово Тульской области.
В 1973 г. с отличием окончил Харьковский юридический институт (ныне - Национальный юридический университет им. Ярослава Мудрого, Украина).
В 1985 г. защитил кандидатскую диссертацию по теме "Прокурорский надзор за исполнением законодательства о народном образовании". Член-корреспондент Российской академии естественных наук.
В 1966-1969 гг. проходил срочную службу в Группе советских войск в Германии. Принимал участие в событиях, связанных с вводом войск Организации Варшавского договора в августе 1968 г. в Чехословакию.
После окончания института был направлен в прокуратуру Орловской области, где работал в должности следователя прокуратуры района, прокурора следственного отдела облпрокуратуры, старшего помощника прокурора области по делам несовершеннолетних.
В 1981 г. - прокурор отдела по надзору за исполнением законов о несовершеннолетних аппарата Прокуратуры СССР. С 1987 г. работал в прокуратуре Тушинского района Москвы. В 1994 г. был назначен заместителем прокурора Москвы, в 1995-2003 гг. - первый заместитель прокурора Москвы (в этот период столичную прокуратуру последовательно возглавляли Геннадий Пономарев, Сергей Герасимов, Михаил Авдюков).
С 2004 г. является доцентом кафедры уголовно-правовых дисциплин Московского городского педагогического университета. Преподает курсы уголовного процесса и прокурорского надзора.
В 2004 г. организовал коллегию адвокатов "Синельщиков и партнеры". Является председателем совета Региональной общественной организации ветеранов Московской городской прокуратуры.
С 2011 г - депутат Государственной думы РФ от КПРФ.
4 декабря 2011 г. был избран депутатом Государственной думы РФ VI созыва от партии КПРФ (первый номер в региональной группе №66, Ульяновская область). Во время работы в Думе занимал должность заместитель председателя комитета ГД по гражданскому, уголовному, арбитражному и процессуальному законодательству. Был членом фракции КПРФ.
18 сентября 2016 г. был избран в Госдуму РФ VII созыва по списку КПРФ. На выборах возглавлял региональную группу №12 (Республика Татарстан, Ульяновская обл.). Кроме того, баллотировался от КПРФ по Радищевскому одномандатному избирательному округу №188 (Ульяновская обл.). В округе занял второе место с результатом 13,5%, уступив кандидату от "Единой России", депутату Госдумы Владиславу Третьяку (65,62% ). В Госдуме VII созыва Юрий Синельщиков был первым заместителем председателя комитета по государственному строительству и законодательству, заместителем председателя комиссии по расследованию фактов вмешательства иностранных государств во внутренние дела России. Член фракции КПРФ.
С 2021 г. - депутат Государственной думы РФ VIII созыва. Избран 19 сентября 2021 г. от КПРФ по федеральному округу. Был выдвинут под 13-м номером общефедеральной части списка кандидатов, однако после исключения из нее Павла Грудина фактически баллотировался под 12-м номером. С 12 октября 2021 г. - первый заместитель председателя комитета Госдумы РФ по государственному строительству и законодательству. С 23 марта 2022 г. - заместитель председателя комиссии Госдумы по расследованию фактов вмешательства иностранных государств во внутренние дела России.
Имеет благодарность правительства РФ (2017).
Заслуженный юрист РФ (1997).
Государственный советник юстиции III класса.
Почетный работник прокуратуры РФ, почетный сотрудник Следственного комитета РФ.