Родился 13 сентября 1969 г. в г. Бор Горьковской (ныне - Нижегородской) области.
В 1992 г. окончил Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского по специальности "прикладная математика", в 1998 г. - Специализированный институт юриспруденции Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова по специальности "юриспруденция".
В 1986-1989 гг. проходил срочную службу в Вооруженных силах СССР.
С 1992 г. работал в коммерческих организациях, в частности, с 1996 г. - в страховом бизнесе.
В 1997-1998 гг. являлся сотрудником компании "Росно", в 1998-2002 гг. - "Ингосстрах".
С 2000 по 2002 г. - директор Российской ассоциации страховщиков владельцев транспортных средств.
В 2002-2003 гг. - генеральный директор Российского союза автостраховщиков.
В 2003-2004 гг. - эксперт Центра стратегических разработок, который специализируется на разработке для правительства и президента РФ документов и материалов, связанных со стратегией развития России, субъектов Федерации и ключевых отраслей экономики страны. Президентом ЦСР в этот период была Эльвира Набиуллина (ныне - глава Банка России).
С февраля 2005 по октябрь 2007 г. - начальник департамента сопровождения приоритетных национальных проектов Экспертного управления Администрации президента РФ, которое возглавлял Аркадий Дворкович (в 2012-2018 гг. - вице-премьер правительства РФ).
С 29 октября 2007 г. по 8 мая 2009 г. - заместитель министра сельского хозяйства РФ Алексея Гордеева.
С 8 мая 2009 г. по 31 января 2012 г. - заместитель министра экономического развития РФ Эльвиры Набиуллиной.
В 2012-2016 гг. - член коллегии (министр) по торговле Евразийской экономической комиссии (постоянно действующий регулирующий орган Евразийского экономического союза, членами которого являются Россия, Армения, Белоруссия, Казахстан, Киргизия). Председателем коллегии в 2012-2016 г. был Виктор Христенко.
В феврале 2009 г. вошел в "первую сотню" резерва управленческих кадров, находящихся под патронажем президента России.
С 26 февраля по 5 июля 2016 г. – помощник председателя правительства РФ Дмитрия Медведева.
С 5 июля 2016 г. по 28 апреля 2018 г. - заместитель руководителя Аппарата правительства РФ - директор департамента проектной деятельности правительства РФ. В 2013-2018 гг. пост руководителя Аппарата кабинета министров занимал Сергей Приходько.
1 мая 2018 г. Андрей Слепнев был назначен генеральным директором "Российского экспортного центра" (государственная компания - институт поддержки несырьевого экспорта, предоставляющий российским экспортерам финансовую и другую поддержку). 10 февраля 2020 г. на этом посту его сменила Вероника Никишина.
2 марта 2020 г. Андрей Слепнев вновь занял должность члена коллегии (министра) по торговле Евразийской экономической комиссии.
Общая сумма декларированного дохода за 2016 г. составила 9 млн 441 тыс. руб, супруги - 1 млн 832 тыс. руб.
Действительный государственный советник РФ II класса (2008).
Награжден орденом Дружбы (2011). Отмечен Почетной грамотой президента РФ (2013) и правительства РФ (2016).
Женат, есть дочь.